江苏省2014届一轮复习数学试题选编6：函数的应用问题

一、解答题

1 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）某单位设计的两

种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8 mm;图2是双层中空玻璃,厚度均为4 mm,中间留有厚度为x的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为d的均匀介质,两侧的温度差为 T,单位时间内,在单位面积上通过的热量Q k ,其中k为热传导系数.假定单位时间内,在单位面积上通过每一

d层玻璃及空气隔层的热量相等.(注:玻璃的热传导系数为4 10 3 J mm/ C,空气的热传导系数为2.5 10 4 J mm/ C.)

(1)设室内,室外温度均分别为T1,T2,内层玻璃外侧温度为T1 ,外层玻璃内侧温度为T2 ,且T1 T1 T2 T2.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用

T1,T2及x表示);

(2)为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计x的大小?

图1

（第17题）

图2

【答案】解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为Q1,Q2, 则Q1 4 10 3 Q2 4 10 3

T1 T2T1 T2

,

T1 T1 T T2 T T2

2.5 10 4 1 4 10 3 2

4x4

T1 T1 T T2 T T2

1 2

4 10 32.5 10 44 10 3

T1 T1 T1 T2 T2 T2

4 10 32.5 10 44 10 3

T1 T2

4 000x 2 000

Q2

1, 1(2)由(1)知当

1 4%时,解得x 12(mm). 答:当x 12mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% 2 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图所示,有两条道路OM与

ON, MON 600,现要铺设三条下水管道OA,OB,AB(其中A,B分别在OM,ON上),若下

水管道的总长度为3km,设OA a(km),OB b(km). (1)求b关于a的函数表达式,并指出a的取值范围;

(2)已知点P处有一个污水总管的接口,点P到OM的距离PH

为

km,到点O的距离PO

为4

km,问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P?若能,求出a的值,若不能,请说明理由. 4

NBb

P

O

【答案】

HA

M

3 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示),

用长为a的围栏设置一个运动器材储

存区域,已知B是墙角线AM上的一点,C是墙角线AN上的一点. (1)若BC=a=10,求储存区域三角形ABC面积的最大值;

(2)若AB=AC=10,在折线MBCN内选一点D,使DB+DC=a=20,求储存区域四边形DBAC 面积的最大值.

B

(第17题图)

【答案】(1)因为三角形的面积为

1

倍AB·AC,所以当AB=AC时其值才最大,可求得为25 2

(2)求四边形DBAC面积可分为ABC跟BCD两个三角形来计算,而ABC为定值可先不考虑,进而只考虑三角形BCD的面积变化,以BC为底边,故当D点BC 的距离最长时面积取得最大值.因为DB+DC=a=20总成立,所以点D的轨迹是一个椭圆,B.C是其两交点,结合椭圆的知识可以知道只有当D点在BC的中垂线上时点D到BC的距离才能取得最大值,再结合题意四边形DBAC刚好是一个边长为10的正方形,其面积为100

4 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）某人2002年底花100万元买了一套住房,其中首付30

万元,70万元采用商业贷款.贷款的月利率为5 ,按复利计算,每月等额还贷一次,10年还清,并从贷款后的次月开始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元?

⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房

150万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据:(1+0.005)120 1.8)

【答案】⑴设每月应还贷x元,共付款12 10 120次,则有

x[1+(1+0.005)+(1+0.005)2+ +(1+0.005)119] 700000(1+0.005)120, 700000 0.005 (1+0.005)120

所以x 7875(元)

(1+0.005)120 1

答:每月应还贷7875元

⑵卖房人共付给银行7875 120 945000元, 利息945000 700000 245000(元),

缴纳差额税(1500000 1000000) 0.2 100000(元), 500000 (245000+100000) 155000(元).

答:卖房人将获利约155000元 5 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）要制作一个如图的框架(单位:米),要求所围成

的总面积为19.5(米),其中ABCD是一个矩形,EFCD是一个等腰梯形,梯形高h=设AB=x米,BC=y米.

(Ⅰ)求y关于x的表达式;

(Ⅱ)如何设计x,y的长度,才能使所用材料最少?

2

13AB, tan ∠FED=,24

【答案】

6 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知一块半径为r的残缺的半圆形材料

1

ABC,O为半圆的圆心,OC r,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个

2

直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以BC为斜边;如图乙,直角顶点E在线段OC上,且另一个顶点AB上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三D在

角形面积的最大值.

（第17题甲图）

（第17题乙图）

【答案】如图甲,设 DBC , 则BD

3r3r

cos ,DC sin ,

22

所以S△BDC

92

rsin2 16

≤

92

r, 16

π

时取等号, 4

3

此时点D到BC的距离为r,可以保证点D在半圆形材料ABC内部,因此按照图甲方案得到直角三

492

角形的最大面积为r

16

当且仅当

（第17题甲图）

（第17题乙图）

如图乙,设 EOD ,则OE rcos ,DE rsin ,

12ππ

r(1 cos )sin , [,] 23211

设f( ) r2(1 cos )sin ,则f ( ) r2(1 cos )(2cos 1),

22πππ

当 [,]时,f ( )≤0,所以 时,即点E与点C重合时,

323

2

△

BDE

292

r,

16

2

所以选择图乙的方案,截得的直角三角形面积最大,

最大值为

8

7 ．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,在海岸线l一侧C处有一个美丽的小

岛,某旅游公司为方便游客,在l上设立了A、B两个报名点,满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米.公司拟按以下思路运作:先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A、B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设∠CDA ,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元. ⑴写出S关于 的函数表达式,并指出 的取值范围; ⑵问中转点D距离A处多远时,S最小

?

所以S△BDE

【答案】解: (1)由题在 ACD中, CAD

3

, ADC

3

,AC 10, ACD

2

.

3

2 10sin

CDAD10 3

由正弦定理知,

得CD ,AD

sin sin 2 sin sinsin 3 3 2

40sin

3

80

S 4AD 8BD 12CD 12CD 4AD 80

sin '

2

60 x

3 3

1'

令,得 S 0cos 3111''

当cos 时,S 0;当cos 时,S 0, 当cos 时S取得最小值

333

(2)S 此时sin

5sin AD 5 , 3sin 4

中转站距A

处

20 千米时,运输成本S最小 4

8 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图,一个半圆和长方形组成的铁

皮,长方形的边AD为半圆的直径,O为半圆的圆心,AB 1,BC 2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN,其底边MN BC.

(1)设备 MOD 30 ,求三角形铁皮PMN的面积; (2)求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值

.

【答案】(1)设MN交AD交于Q点 ∵∠MQD=30°,∴MQ=

31

,OQ=(算出一个得2分)

22

S△PMN=

6 3113

MN·AQ=××(1+)=

28222

(2)设∠MOQ=θ,∴θ∈[0,

],MQ=sinθ,OQ=cosθ 2

∴S△PMN==

11

MN·AQ=(1+sinθ)(1+cosθ) 22

1

(1+sinθcosθ+sinθ+cosθ) 2

1t2 1

令sinθ+cosθ=t∈[1,2],∴S△PMN=(t+1+)

22

θ=

3 22

,当t=2,∴S△PMN的最大值为

44

9 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,

其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,ABCD(AB AD)为长方形薄板,沿AC折叠后,AB 交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能,凹多边形ACB PD的面积最大时制冷效果最好. (1)设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

B

C

（第17题）

【答案】解:(1)由题意,AB x,BC 2 x.因x 2 x,故1 x 2

设DP y,则PC x y.

因△ADP≌△CB P,故PA PC x y.

由 PA2 AD2 DP2,得 (x y)2 (2 x)2 y2 y 2(1 1),1 x 2

x(2)记△ADP的面积为S1,则 S1 (1 1)(2

x)

3 (x ) 2

x

当且仅当x ∈(1,2)时,S1取得最大值

米,

宽为2 米时,节能效果最好 (3)记△ADP的面积为S2,则

S2 1x(2 x) (1 1)(2 x) 3 1(x2 4),1 x 2

3

0 x 于是

,S2 (2x 2) 22xx

关于x的函数S

2在上递增,

在上递减.

所以当x ,S2取得最大值

米,

宽为2 米时,制冷效果最好

本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形为载体,再现对基本

不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理,在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心. 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值情况. 10．（2012年江苏理）如图,建立平面直角坐标系xoy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千

米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由

.

1

(1 k2)x2(k 0)表示的曲线上,其中k20

【答案】解:(1)在y kx

11

(1 k2)x2(k 0)中,令y 0,得kx (1 k2)x2=0. 2020

由实际意义和题设条件知x>0，k>0. ∴x=

20k2020

= =10,当且仅当k=1时取等号. 1 k21 k2

k

∴炮的最大射程是10千米.

(2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在k 0,使ka 即关于k的方程a2k2 20ak a2 64=0有正根. 由 = 20a 4a2a2 64 0得a 6.

2

1

(1 k2)a2=3.2成立, 20

此时,

k0(不考虑另一根).

∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.

11．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB,其中

O为扇形所在圆的圆心, AOB 60 ,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在 AB上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE,问C应选在何处,才能使得修建的道路CD与CE的总

长最大,并说明理由

.

【答案】

12．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）某部门要设计一种如图所示的灯架,

用来安装球心为O,半径为R(米)的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形

,EB ,EC 所在圆的圆心都是O、半径都是R(米)、圆弧的圆心角都是 (弧度);灯杆 ,ED灯托EA

EF垂直于地面,杆顶E到地面的距离为h(米),且h R;灯脚FA1,FB1,FC1,FD1是正四棱锥

F A1B1C1D1的四条侧棱,正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R(米),四条灯脚与灯杆所在直线的夹角

都为 (弧度).已知灯杆、灯脚的造价都是每米a(元),灯托造价是每米数.设该灯架的总造价为y(元) . (1)求y关于 的函数关系式; (2)当 取何值时,y取得最小值?

a

(元),其中R,h,a都为常3

B1

1【答案】

13．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）随着机构改革开作的深入进行,各单位要

减员增效,有一家公司现有职员2a人(140<2a<420,且a为偶数),每人每年可创利b万元. 据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员．．．1人,则留岗职员每人每年．．．．每人每年0.4b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的济效益,该公司应裁员多少人?

【答案】解答:设裁员x人,可获得的经济效益为y万元,则

3

,为获得最大的经4

y (2a x)(b 0.01bx) 0.4bx

依题意 2a x

b

[x2 2(a 70)x] 2ab 100

3a

2a 0 x .又140 2a 420,70 a 210. 42

a

,即70 a 140时,x a 70,y取到最大值; 2aa

(2)当a 70 ,即140 a 210时,x ,y取到最大值;

22

(1)当0 a 70

答:当70<a<140,公司应裁员为a-70,经济效益取到最大值 当140<a<210,公司应裁员为

a

,经济效益取到最大值 2

14．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,两座建筑物AB,CD的

底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9cm和15cm,从建筑物AB的顶部

A看建筑物CD的视角 CAD 45 . (1) 求BC的长度; (2) 在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为 APB , DPC ,问点P在何处时, 最小?

D

A BP

第17题图

C

【答案】⑴作AE CD,垂足为E,则CE 9,DE 6,设BC x, 则tan CAD tan( CAE+ DAE)

tan CAE+tan DAE

1 tan CAE tan DAE

96+ 1,化简得x2 15x 54 0,解之得,x 18或x 3(舍)

1 xx

答:BC的长度为18m

⑵设BP t,则CP 18 t(0 t 18),

915+

162+6t6(27+t)

tan( + ) 2 2

915 t+18t 135 t+18t 1351

t18 t

t2+54t 27 2327+t

设f(t) 2,f (t) 2,令f (t) 0,因为0 t 18,

得t 27,

当

(t 18t+135)2 t+18t 135t 27)时,f (t) 0,f(t)是减函数;

当t 27,18) 时,f (t) 0,f(t)是增函

数,

所以,

当t 27时,f(t)取得最小值,即tan( + )取得最小值,

因为 t2+18t 135 0恒成立,所以f(t) 0,所以tan( + ) 0, + (, ),

2

因为y tanx在(, )上是增函数,

所以当t 27时, + 取得最小值.

2

答:当BP

为27)m时, + 取得最小值

15．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办,展

览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD,BC a,CD b.a,b为常数且满足b a.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区(点E,F分别在线段AB,AD上),且该直角三角形AEF的周长为(l 2b),如图.设AE x,△AEF的面积为S. (1)求S关于x的函数关系式;

(2)试确定点E的位置,使得直角三角形地块AEF的面积S最大,并求出S的最大值.

l2 2lx

l,整理,得y

2(l x)

【答案】解:(1)设AF y,则x y1x(l2 2lx)

,x (0,b S xy

24(l x)

l2x2 4lx l22l

x x ,x (0,b (2)S 22 44 x l x l

'

当b

bl 2b l ;

时,S' 0,S在(0,b 递增,故当x b时,Smax

4b l当b

''

x ,b上,,递增,

在上,S 0S 0,S递减,

故当时,

在x S

2

时

,Smax . 16．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,

x

灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且 ABC 120 ,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知 ACD 60 ,路宽

AD 24米,设灯柱高

AB h(米), ACB (30 45 )

(1)求灯柱的高h(用 表示);

(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记此用料长度和为S,求S关于 的函数表达式,并求出S

的最小值.

C

B

A

【答案】

D

【编号】125 【难度】较难

17．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）将一张长8cm,宽6cm的长方形的纸片沿着一

条直线折叠,折痕(线段)将纸片分成两部分,面积分别为S1cm,S2cm,其中S1≤S2.记折痕长为lcm. (1)若l=4,求S1的最大值;

(2)若S1∶S2=1∶2,求l的取值范围.

【答案】解 如图所示,不妨设纸片为长方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点A在面积为S1的部分内. 折痕有下列三种情形:

①折痕的端点M,N分别在边AB,AD上; ②折痕的端点M,N分别在边AB,CD上; ③折痕的端点M,N分别在边AD,BC上.

D N

C

D N

C

D M

N

A

M

（情形①）

B

A

M

（情形②）

B

A

B

（情形③）

C

2

2

(1)在情形② ③中MN≥6,故当l=4时,折痕必定是情形①. 设AM=xcm,AN=ycm,则x+y=16

因为x+y≥2xy,当且仅当x=y时取等号, 1

所以S1=xy≤4,当且仅当x=y2时取等号.

2

2

2

2

2