概率论与数理统计(浙大四版)课件

第二章 随机变量及其分布

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§2.1

随机变量

随机变量的概念例 电话总机某段时间内接到的电话次数， 电话总机某段时间内接到的电话次数， 来描述： 可用一个变量 X 来描述： X = 0,1,2, …休息 结束

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例 检测一件产品可能出现的两个结果 ， 检测一件产品可能出现的两个结果 也可以用一个变量来描述: 也可以用一个变量来描述 1, 次品 X( ω ) = 0 , 正品

例 考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以 考虑“测试灯泡寿命”这一试验， X 记灯泡的寿命(以小时计)则： 记灯泡的寿命(以小时计) X = t, ( t≥0 )休息 结束

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定义设 S 是随机试验E的样本空间， 若按一定法则 ω ∈ S 实数 X( ω ) →

则称 S 上的单值实值函数 X ( ω ) 为随机变量 随机变量一般用大写英文字母X, Y , , Z ,… 或小写希腊字母 ξ,η,ζ ,…表示休息 结束

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随机变量 是 S → R 上的映射， 此映射具有如下特点: 定义域 事件域 S ;

随机性 随机变量 X 的可能取值不 止一个， 试验前只能预知它的可能的取 值但不能预知取哪个值； 概率特性 值或某些 值 。 X 以一定的概率取某个休息 结束

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引入随机变量的意义 有了随机变量，随机试验中的各种事件， 有了随机变量，随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来。 就可以通过随机变量的关系式表达出来。 如：单位时间内某电话交换台收到的呼 表示，它是一个随机变量 随机变量。 叫次数用 X 表示，它是一个随机变量。

{ 收到不少于 次呼叫 } 收到不少于1次呼叫 { 没有收到呼叫}

{ X ≥ 1}{ X =0 }休息 结束

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可见，随机事件这个概念实际上是包容 可见， 在随机变量这个更广的概念内。也可以说， 在随机变量这个更广的概念内。也可以说， 随机事件是从静态的观点来研究随机现象， 随机事件是从静态的观点来研究随机现象， 而随机变量则是一种动态的观点， 而随机变量则是一种动态的观点，就象数学 分析中常量与变量的区别那样。 分析中常量与变量的区别那样。

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随机变量分类

所有取值 可以逐个 一一列举

型 机 离散 随 变量 随机 量 变 非 散型 机 量 随 变 离 连续型随机变量全部可能取值不仅 无穷多， 无穷多，而且还不 能一一列举。 能一一列举。休息 结束

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§2.2

离散型随机变量及其分布律

有奖储蓄，20万户为一开奖组 万户为一开奖组， 例 有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等 奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金 20名 奖金4000 4000元 一等奖120 120名 400元 二等奖1200 400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖 1200名 奖

金40 40元 4万名，奖金4元。考察得奖金额 X 。 万名，奖金4

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例有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖 有奖储蓄，20万户为一开奖组， 万户为一开奖组 20名 奖金4000 4000元 一等奖120 120名 奖金400 20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400 二等奖1200 1200名 奖金40 40元 末等奖4万名， 元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名， 奖金4 奖金4元。考察得奖金额 X 。 解： X 的可能取值为： 的可能取值为：

4000,400,40,4,0 。 , , , , Xp 0 4 .2 40 400 4000

.7933

.006 .0006

.0001休息 结束

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定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个， 则称 X 为离散型随机变量。 个或可列个， 离散型随机变量。 描述X 的概率特性常用概率分布列 概率分布列或 描述 的概率特性常用概率分布列或分布列 即 P( X = xk ) = pk , k = 1,2,… 或 X p

x1 x2 … xk …p1 p2 … pk …休息 结束

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概率分布的性质1)

pk ≥ 0, k = 1,2,…

非负性 正则性 概率分布的特征休息 结束

2)

∑pk=1

∞

k

=1

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一批产品的次品率为8% ,从中抽取 件 从中抽取1件 例1 一批产品的次品率为 1, 次品 进行检验， 的分布律. 进行检验，令X = 写出 X 的分布律 0 , 正品

解： X 的分布律为 的分布律为: 概率分布图 :

X p y0.92

00.92

10.08

1

0.08

0

x休息 结束

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两点分布 ( 0–1分布) 分布律为：X pk 1 p

只取两个值的概率分布

0 1-p

0<p<1

或 P( X = k ) = pk ( 1 p )1 k , k = 0 ,1休息 结束

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应用场合凡试验只有两个可能结果，常用0 – 1分 布描述，如产品是否合格， 人口性别统计， 系统是否正常， 电力消耗是否超标等。

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10件产品中 件产品中， 件次品， 例2 10件产品中，有3件次品，任取两 件，X是“抽得的次品数”,求分布律。 是 抽得的次品数” 求分布律。 解： X 可能取值为 0,1,2。P{ X = 0 } =2 C7 2 C10

7 ×6 7 = = 10 ×9 15

P{ X = 1} =

1 1 C3C7 2 C10

21 7 = = 45 15

1 P{ X = 2 } = 15休息 结束