概率论每单元试题答案,我是雷锋

概率论作业题答案

第一章 习题参考答案

1．（1）1 ，1 ，1 ， ；

9

， 16

233

（4）， （5），.

5105

2．（1）D， （2）B， （3）D, （4）A, （5）D, (6) B .

（2）0．6， （3）

, y lx, y l3．解：设分成的三段长分别为x,y,l (x y)，则0 x l0.

又设A=“三段可以构成三角形”，A出现的充要条件是三角形的任意

两边之和大于第三边，故

D x,y 0 x l,0 y l,x y l ，

A {(x,y)|x 0,y 0,且x y l (x y)，

y l (x y) x,x l (x y) y

lll

x,y 0 x ,0 y ,x y .

222

如图示，可得所求概率：

112(l)

L(A)1

P(A) .

12L(D)4l2

4．解：设Ai “第i次取到正品” (i 1,2,3) ，A “第三次才取到正品”， 则 A A1

A2A3，

P(3A|1 A)2A

于是 P(A) P(1A2A3A) P(1A )P(2A|1 A)

3297 0.0005998, 1009998

所以，第三次才取到正品的概率为0.0005998. 5．证明：P(A) P[A(BC)]

P(AB

AC)

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P(AB) P(AC) P(ABC) P(AB) P(AC) P(BC).

6．解法1：设A = “三次抛掷中至少有一次出现正面”

B = “三次抛掷中至少有一次出现反面”.

17

P(A) 1 P(A) 1 ()3 ,

28

P(AB) 1 P(AB) 1 P(A B) 1 (P(A) P(B) P(AB))

1 1 3

1 ()3 ()3 0 .

2 2 43

P(AB)6

P(B|A) .

77P(A)

8

解法2: 因为至少出现一次正面共7个样本点： {（正、反、反），（反、正、反），（反、反、正），（正、正、反），（正、

反、正），（反、正、正），（正、正、正）}

在这7个样本点中至少出现一次反面共6样本点个，故

6

P(BA) .

77. 解：设Ai “第一次取出的乒乓球有i个新球” i 0,1,2,3 , B =“第二次取出的3个球有2个新球”.

由全概率公式有

P(B) P(A0)P(B|A0) P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3)

31122121213C3C92C3CCC9C3C84CC9C37C5CC9 3 333C12C312C312C312C3CCC121212

1377

3025

26

1612

≈0.455.

8．解：设Ai=“取得的产品是第i台机器生产” i 1,2，B=“取得的产品是正品”，由全概率公式及贝叶斯公式得

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(1) P(B) P(A1)P(BA1) P(A2)P(BA2)

19529011 0.917.3100310012

210

P(A2B)P(A2)P(BA2)4

(2)P(A2B) 0.8.

1 P(B)5P(B)1 12

9． 解：设A1,A2,A3依次表示从甲袋中取得白球，红球，黑球；B1,B2,B3依

次表示从乙袋中取得白球，红球，黑球；C表示取得两球颜色相同．则 C AAB 1B1 A2B2 3 ，于是

3

510551510

. 36P(C) PA(iP)Bi( 0.

252525252525i 1

10. 解：设A = “失去的球为白球”，B = “取得的两球为白球”,则，所求的概率为

P(AB)

P(A|B)

P(B)

P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A) P(B|)

2

5C4

211C101

=. 22

35C46C

2 5

2

11C1011C10

11．解：设Ai “一箱玻璃杯中有i件次品”, i 0,1,2,

B=“顾客买下一箱玻璃杯”，由全概率公式及贝叶斯公式得

44

C19C18

(1)P(B) P(Ai)P(B|Ai) 0.8 1 0.1 4 0.1 4 0.94

C20C20i 0

2

(2)P(A0|B)

P(A0)P(B|A0)0.8

0.85.

P(B)0.94

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12．解法1: 设Ai “第i个元件正常工作”，i=1,2,3,4,5, A=“系统工作正常”.已知各元件是否正常工作相互独立，且

P(Ai) p 0.9,(i 1,2,3,4,5).由图知, 系统正常工作的路径有以下四条:

B1 A1A2,B2 A4A5,B3 A1A3A5,B4 A4A3A2,

于是系统正常工作的概率为:

P(A) P(B1

4i 1

B2B3

1 i j 4

B4)P(BiBj)

1 i j k 4

P(Bi)

P(BiBjBk) P(B1B2B3B4)

P(A1A2) P(A4A5) P(A1A3A5) P(A4A3A2) P(A1A2A4A5) P(A1A2A3A5) P(A1A2A3A4) P(A1A3A4A5) P(A2A3A4A5) P(A1A2A3A4A5) P(A1A2A3A4A5) P(A1A2A3A4A5) P(A1A2A3A4A5) P(A1A2A3A4A5) P(A1A2A3A4A5) 2p2 2p3 5p4 2p5 0.97848.

解法2: 设Ai “第i个元件正常工作”，i=1,2,3,4,5.A =“系统工作正常”.在桥式系统中，第3个元件是关键，我们先用全概率公式得

P(A) P(A3)P(AA3) P(A3)P(AA3)

因为在“第3个元件正常工作”的 条件下，系统成为先并后串系统

P(AA3) P (A1

P(A1

A4)(A2A4)P(A2

A5) A5)

P(A1) P(A4) P(A1A4) P(A2) P(A5) P(A2A5) (2p p2)2,

又因为在“第3个元件不正常工作”的 条件下，系统成为先串后并系统 所以

P(AA3) P(A1A2

2p p,

2

4

A4A5)

最后我们得

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P(A) p(2p p2)2 (1 p)(2p2 p4)

0.97848.

13．解: 设Ai “甲投中i次”，i 0,1,2，，3. Bi “乙投中i次”

i 0,1,2，3.

则由伯努利试验的概率计算公式得：

iiP(Ai) C3(0.6)i(0.4)3 i,P(Bi) C3(0.7)i(0.3)3 i,i 0,1,2,3.

于是

（1） 设A “两人投中次数相等” 则

P(A) P(AiBi) P(Ai)P(Bi)

i 0

i 0

11

0.43 0.33 C30.6 0.42 C3 0.7 0.32 C320.62 0.4 C32 0.72 0.3

33

0.63 0.73 0.321；

（2） 设B “甲比乙投中次数多”，则

P(B) P(A1B0 A2B0 A2B1 A3B0 A3B1 A3B2)

11 C30.6 0.42 0.33 C320.62 0.4 0.33 C320.62 0.4 C30.7 0.32

0.6 0.3 0.6 C0.7 0.3 0.6 C 0.7 0.3 0.243.

333

1

3

23

23

2

另解：设甲、乙两人，投中次数分别为X,Y 则

X

B(3,0.6),Y

B(3,0.7).

于是

11

P(X Y) P(X i,Y i) 0.43 0.33 C30.6 0.42 C3 0.7 0.32

i 03

C320.62 0.4 C32 0.72 0.3 0.63 0.73 0.321,

P(X Y) P(X 1,Y 0) P(X 2,Y 0) P(X 2,Y 1) P(X 3,Y 0) P(X 3,Y 1) P(X 3,Y 2)

11 C30.6 0.42 0.33 C320.62 0.4 0.33 C320.62 0.4 C30.7 0.321 0.63 0.33 0.63 C30.7 0.32 0.63 C32 0.72 0.3 0.243.

14．解：设 Ai “三人中的第i人击中目标”，i 1,2,3，

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1,2,3, Bi “目标被击中i弹”, i 0，

C=“三人各射击一次就击毁目标”, 则：

P(C) P(Bi)P(C|Bi)

i 0

3

0 P(A123 1A23 12A3) P(C|B1)

P(A1A23 A12A3 1A2A3)P(C|B2)

P(A1A2A3) P(C|B3)

123241324212 0

534553455345

113312134113 534453445344111 1 534=0.302.

15. 证明： 由P（A|C）≥ P(B|C), 得

P(AC)P(BC)

,

P(C)P(C)

即有 P(AC) P(BC), 同理由 P(A|C) P(B|C), 得 P(AC) P(BC),

故 P(A) P(AC) P(AC) P(BC) P(BC) P(B).

第二章 习题参考答案

1. 填空题： （1） 由P{X 1}

3

C

k 1k

3

2

k2

pk(1 p)2 k 5/9解得p,

代入P{Y 1}

C

k 1

pk(1 p)3 k得P{Y 1} 19/27.

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（2） P{X 1/2}

1/2

2xdx 1/4

22 32

P{Y 2} C(1/4 )]. 9/643(1/4) [1

P{X 150} （3）

100

100x2 1/3 设A表示“在150小时内独立使用三只元

150

件全部损坏”， P(A) [P{X 150}]3 (1/3)3 1/27. （4） 由P{2 X 4} P{

2 2

X 2

4 2

2

() (0) 1/3得

2

() 1/3 (0) 1/3 1/2 5/6

P{X 0} P{

X 2

0 2

22

( ) 1 () 1/6

由正态分布概率密度函数图像关于 的对称性得C=2. （5）

F(x) P{X x}

x

f(x)dxx 0x<0

x11-x 01x-x

edx edx 1 e 0 22= 2

x11xx edx e 22

（6）由P{X a}

a

1

2e 2xdx 1 e 2a 2/3得a ln3

2

2. 选择题 (1) A （2）C （3） B（4） B

3. 解：用A表示该顾客未等到服务就离开窗口，则有

x1-5

P（A） P{X 10} edx=e-2

105

k-2k

e(1 e-2)5 k,0 k 5. 故Y服从二项分布B(5,e-2)，即P{Y=k}=C5

4. 解： 由于150天内换过日光灯管的数目不确定，直接求换过日光灯管的概率是

不易的，故考虑其对立事件：未换过日光灯管的概率。由题设X服从参数为

1/3000的指数分布，则在150天内某根灯管未坏的概率为

P{X 150 4} P{X 600} 1 P{X 600}

1

600

x1

1 3000

dx e5

3000

1510

设A表示“换过日光灯管”，则P(A) 1 P() 1 (e) 0.8647

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5. 解： (1)

f(x)dx 1

x

Ce

xa

dx 1 即

1

C

2a

（2）

F(x)

f(x)dx

xx x1 01x1a

a

eadx 1 e edx 0

2a2a2= xx

x11a a

edx e 2a 2

x 0

x<0

（3）P{|X| 2} P{ 2 X 2} F(2) F( 2) 1 e. 6.解：

2

a

101.1 108X 108117.6 108

P{101.1 X 117.6} P{ 333

（1）

117.6 108101.1 108 () () 0.9886

33

（2）因为

P{|X a| a} P{X a a} P{X a a}

P{X 2a} P{X 0} 1 P{X 2a} P{X 0}

X 1082a 108X 1080 108

1 P{ P{ 33332a 108 108

1 () () 0.01.

33

查表即得a 57.4.

7. 解：（1）以A1，A2，A3分别表示电源电压U不超过200伏，介于200~240伏之间和超过240伏三种状态，B表示电子元件损坏，由题设有

P(B/A1)=0.1，P(B/A2)=0.001，P(B/A3)=0.2，

而由全概率公式P(B)=

，要计算电子元件损坏概率必须首先计算 P(A）P(B/A）

i

i

i=13

概率P(Ai）(i=1,2,3)。根据题设及一般正态分布标准化的方法知

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U 220200 220

P(A1) P{U 200} P{ 2525

U 220 P{ 0.8} ( 0.8) 1 (0.8) 0.2119

25

由对称性可得 P(A3) P(A1) 1 (0.8) 0.2119

P(A2) 1 P(A1) P(A3) 0.5762

将上述结果代入全概率公式，即得

P(B)=0.2119 0.1+0.5672 0.001+0.2119 0.2 0.0642

（2）这个问题就是计算P(A2/B）. 根据贝叶斯公式 P(A2/B）=

P(A2)P(B/A2)0.5672 0.001

= 0.009

P(B)0.0642

y} P3

8. 解：因为

FY(y) P{Y

X y}

(1 y)3

P{X (1 y)} 1 3,(1 y) (1 x2)

fX(x)dx

13(1 y)2

(y) [ 3所以 fY(y) FY]

(1 y) (1 x2) [1 (1 y)6]

1

3

2

2

y R

9. 解：因为 FY(y) P{Y y} P{X 2 y} P{X 3(y 2)} 当y 2 0即y 2时 FY(y) 0，

2

当y 2 0即y 2时

FY(y) P{X 3(y 2) }P

2)}

fX(x)dx

e xdx

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1 3 (3y 6)2e (y) 2所以

fY(y) FY

0

y 2y 2

10.

解：记g( ) P{a X b} P{

a

X

b

b

a

x2

dx 2

欲求g( )的最大值，由极值的必要条件有

g ( )

ae

a22 2

be

b22 2

] 0

故

11. 解： 已知96分以上的占考生总数的2.3%，即

P{X 96} 0.023

而 P{X 96} 1 P{所以 (

X 72

96 72

} 1 (

24

)=0.023

24

) 0.977 查表可得

24

=2， 12

欲求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率，即

60 72X 7284 72

121212

(1) ( 1) 2 (1) 1 0.682P{60 X 84} P{

12. 解：X的概率密度函数

0 x fX(x)

其它 0

由于FY(y) P{Y y} P{sinX y}，故当y<0时，FY(y) 0； 当y 1时，FY(y) 1；

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当0 y<1时，FY(y) P{Y y} P{sinX y}

arcsiny

1

1

arcsiny

2

arcsiny，于是对y

求导得fY(y) 0

0 y 1其它

13.解：设大堤建成到第一次遇到百年一遇的洪水需要经过X年，则X服从参数p=0.01的几何分布，所求概率为

P{X 50} (1 p)

k 1

50

k 1

p 0.99k 1 0.01

k 1

50

1 0.9950 1 e50ln0.99 1 0.605 0.395.

第三章 习题参考答案

1.填空题：

（1）解：P{X x1}

1313p ; 1j

8844j 1

31 ; 44

3

P{X x2} 1

由于X与Y独立，有P{X xi,Y yj} P{X xi}P{Y yj}; 所以P{Y y1}

331P{X x1,Y y1}131

;P{Y y2} ;

842P{X x1}846

1

P{Y y3} 1 P{Y y1} P{Y y2} ;

3

进而

111111

P{X x2,Y y2} ; P{X x2,Y y1} ;

4284624

综上计算X与Y的联合概率分布和边缘分布表如下：

pi

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（2）

（3）由于X与Y独立，有P{X xi,Y yj}

P{X xi}P{Y yj},所以

P{X 2,Y 2} P{X 2}P{Y 2} ,

P{X 2} P{X 2,Y 1} P{X 2,Y 2} P{X 2,Y 3}

又 1

3

1112

P{X 2} 1 ( )

691831

P{Y 2}

9

211221故 ( ) ， 即 ,

393399

（4）由于X与Y独立，有P{X xi,Y yj} P{X xi}P{Y yj}, 由题设可得

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P{X Y} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1}

（5）

111

442

111 884

1

（6）P{XY 1} P{X 1,Y 1} P{X 1,Y 1} (7)

1111

P{max{X,Y} 1} P{X 1，Y 1} P{X 1} P{Y 1}

03039

1

（8） f(x,y) (b a)(d c)

0

1

fX(x) b a

0

a x b

a x b,c y d

其它

.

1

. fY(y) d c

其它 0

c y d其它

.

2. 选择题 (1) B（2）A （3） A

3.解：(1)

(2)

F(x,y) P{X x,Y y}0 1 2

1 1 5 236 1

x 1或y 0 1 x 0,y 0x 0,0 y 1x 0,y 1

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4.解：（1）如图1所示：

P{X 2Y}

（2）

1

X 2Y

f(x,y)dxdy

1

x20

7

(2 x y)dydx

24

FZ(z) P{Z z} P{X Y z}

x y z

f(x,y)dxdy

当z 0时 FZ(z) 0 当0 z 1时 FZ(z)

x y z

f(x,y)dxdy

z

z x

1

(2 x y)dydx z2 z3

3

当1 z 2时

FZ(z)

z 11

x y z

f(x,y)dxdy

1

z x

(2 x y)dydx

x y z

z 10

1

(2 x y)dydx (z 2)3

3

当z 2时 FZ(z)

f(x,y)dxdy 1

z(2 z)0 z 1 2

所以 fZ(z) FZ (z) (2 z)1 z 2

0其它

5.解：（1）

P{X=1 | Z=0}=

P{X=1 ， Z=0}

P{ Z=0}

1221

P{取得一个红球和一个黑球}4===

33P{取得的不是白球

}9 66

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(2) （X,Y）的概率分布为

6 解：(X,Y)的联合概率分布如下表.

其中，由于事件{X 0,Y 0},{X 0,Y 1},{X 1,Y 0},{X 3,Y 2}是不可能事件，故其概率均为零.

P13=P{X 0,Y 2}

2

C21 其余同理可得. 2C2

P{取到两只白球，两只红球} 4

C735

xy5 x y

C15C25C10

7解：P{X x,Y y} ,其中x+y 5，x,y是0到5之间的整数. 5

C50

8. 解：（1）

f(x，y)dxdy 1

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（2）

1x

00

Cy(2 x)dydx 1 即C=4.8；

fX(x)

f(x,y)dy

x

2 04.8y(2 x)dy 2.4x(2 x)0 x 1

. 0其它

fY(y)

14.8y(2 x)dx 2.4y(3 4y y2)0 y 1

f(x,y)dx y.

0其它

因为f(x,y) fX(x)fY(y)，所以 X与Y不独立。

9解： （1）

f(x，

y)dxdy 1

2

x y2 R2

c(R

dxdy 1

而

x2 y2 R2

c(R

dxdy

2

R

13

c(R r)rdrd cR

3

3c 故

R3

；

3222 (2x y 2

（2） R=2时

f(x,y) 8 ，

0其它