一、 图1所示系统中，四个弹簧均未受力，已知m＝50kg, k1＝9800N/m, k2＝

k3＝4900N/m, k4＝19600N/m。试问：

（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？

图1

ke k4 ke1

111

1 2

mgx kx;x 4cmke1k2 k3k10e00ke 24500

答：(1) x =2 cm； (2) x=4 cm。

kex0 mg;x0 2cm

2

二、 图中k1 1000N/m, k2 1N/m (1). 试推导这两个系统的等效刚度。 (2). 简述计算结果所反映出的物理意义。

图 串联弹簧系统和并联弹簧系统

解：

（1）串联弹簧系统：在质量块上施加力 P 弹簧1变形： 1

Pk1

；

弹簧2变形： 2

Pk2

；

1k1

1)P k2

总变形： 1 2 ( 根据定义： Ke

Ke

P

kk111

或 k1 k2Kek1k2

k1k21000*11000

1 (N/m) k1 k21000 11001

当两弹簧串联，系统刚度取决于刚度小的弹簧。

（2）并联弹簧系统：在质量块上施加力 P，两弹簧变形量相等。 受力不等：P1 k1 ，P2 k2 由力平衡：P P1 P2 (k1 k2) 根据定义：Ke

P

k1 k2

Ke k1 k2 1000 1 1001 (N/m)

当两弹簧并联，系统刚度取决于刚度大的弹簧。

三、 如图所示为一个杠杆系统，该杠杆是不计质量的刚体。在距离支座l1处有

一质量为m1的小球，在距离支座l2处有一质量为m2的小球，在距离支座l1处有一刚度为K1的弹簧，在距离支座l3处有一刚度为K2的弹簧。 求：系统对于坐标 x的等效质量和等效刚度。

解：设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P，则在m1,m2上产生惯性力，对支座取矩：

l

Pl1

(m1 1)l1 (m2 2)l2

l1

2l2

Me P m1 2m2

l1

设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P，则在k1、k2处将产生弹 性恢复力，对支点取矩:

lPl1 (k1 1)l1 (k2 )l3

l1

2lKe P k1 2k2

l1

四、 求图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3，悬臂梁的质量

忽略不计。

解：

图

答案图

k1和k2为串联，等效刚度为：k12

kk。（因为总变形为求和） k1 k2

k12和k3为并联（因为k12的变形等于k3的变形），则：

k123 k12 k3

k1k2kk kk kk

k3 121323 k1 k2k1 k2

k123和k4为串联（因为总变形为求和），故：

ke

ke

m

k123k4k1k2k4 k1k3k4 k2k3k4

k123 k4k1k2 k1k3 k2k3 k1k4 k2k4

故： n

五、 求图所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。

x1

xA

解：

图

答案图

m的位置：x x2 xA

mg

xA k2

mglmgl

， x1 aak1

mgl F1a，F1

x1aamgl2

， xA x1 2 xAllak1

mgmgl2 1l2

x x2 xA 2 2 mg k2ak1 k2ak1

22ak lk mg

a2k1k2

a2k1k2ke

， ke 2 n2

ak1 lk2m

六、 在图所示的系统中，已知ki i 1,2,3 , m, a 和 b，横杆质量不计。求固有频

率。

x

x2

图

答案图

解： 对m进行受力分析可得：

mg k3x3，即x3

mg

k3

如图可得：

x1

FmgbFmga , x2 k1a bk1k2a bk2

a x x a2k b2kx0 x1 x x1 mg a ba bk1k2

a2k b2k1 112

x x0 x3 mg mg 2

ke a b k1k2k3

则等效弹簧刚度为：

2

a b k1k2k3

ke 2

2

ak1k3 bk2k3 a bk1k2

则固有频率为：

2

kkkka b n 22mmk1k2a b k3k1a k2b

七、 当激励频率为多少时，图2

中的机器的稳态振幅小于1.5 mm?

3.1 105

Nm

925

N sm

图2

mx cx kx

400sin t

0

c 0.0743

49.8rad/s，

2m 0A

1.5 10 3

得到：s 则：

0.374 s 1.364 0 0

18.7rad/s 67.5rad/s

八、 如图所示提升机系统，其重物重量W=1.47×105 N，钢丝绳的弹簧刚度

k=5.78×104 N/cm, 重物以v=15m/min的速度均匀下降。求：绳的上端突然被卡住时，

（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。

解：系统振动频率： 0

19.6rad/s 重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有：x0=0；x v 振动解：

x(t)

v

0

sin( 0t) 1.28sin(19.6t)(cm)

绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 ：

Tmax Ts kA W kA 1.47 105 0.74 105 2.21 105(N)

九、 如图阻尼缓冲器，当静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初

始位移的10％ 求：缓冲器的相对阻尼系数

解：

根据题意知：x(0) 0 设x(0) x0

x(t) e 0t(x0cos dt

x xsin dt)

d

求导得：

02x0 t

x(t

) esin dt

d

设在时刻 t 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：

1

02x

t

x(t) esin dt1 0

d

01

经过半个周期后出现第一个振幅 x

1

x1 x(t

1) x0e

0t1

x0e

x

由题知 e

x0

10%

解得： 0.59

十、 一个无阻尼弹簧－质量系统，在（0，t0）时间间隔内受到突加的矩形脉冲

Q0,

力F(t)

0,

0 t t0

t t0

作用，其示意图如下所示：

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