微机原理及应用第一章 计算机中的数与编码

2013-8-18

华东师范大学 电子系 马潮 副教授

第一章 计算机中的数与编码1.1 数制与转换1.2 有符号二进制数的表示方法及溢出问题 1.3 定点数和浮点数 1.4 二进制编码的十进制数(BCD编码) 1.5 ASCII字符代码

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第一章 计算机中的数与编码 计算机的最基本功能是进行数据的计算和处理加

工。 数在计算机中是以器件的物理状态来表示的。为了方便和可靠， 在计算机中采用了二进制数字系统， 即计算机中要处理的所有数据，都要用二进制数字系

统来表示，所有的字母、符号、汉字也都要用二进制编码(不是数)来表示。在本章中，我们将介绍计算 机中数制和码制的有关预备知识，其中有些内容已在 “计算机应用基础”和“脉冲与数字电路”课程中讲 过。 由于它是学习微型计算机原理必不可少的基础知 识，所以有必要进行复习。2013-8-18 华东师范大学 电子系 马潮 副教授 3

1.1 数和数制1.1.1 各种数制及其多项式表示法在人们应用各种数字符号表示事物个数的长期过程中 形成了各种数制。数制是以表示数值所用的数字符号的个

数来命名的，如十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。 各种数制中数字符号的个数称为该数制的基数。一 个数可以用不同计算制表示它的大小，虽然形式不同，但 数的量值则是相等的。在日常生活中，最常用的是十进制。

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1. 十进制数十进制采用 0~9 十个数字和一个小数点符号来表示任意 十进制数。例如，374.53 代表百位为 3,十位 7,个位为 4, 十分位为 5, 百分位为 3 的十进制数。同一个数字在不同的 数位代表的数值是不同的。这种记数方法称为位置记数法。 在位置记数法中，对每一个数位赋以不同的位值，称为 “权”。 对于十进制，每个数位上的权是 10 的某次幂，个位、 十位及百位的权分别为 1、10 及 100。十分位、百分位的权分 别为 10-1和 10-2。每个数位上的数字所表示的量是这个数字和 该数位的权的乘积。因此，任意十进制数可按权展开为 10 的 幂多项式。例如，374.53 的多项式表示形式为：2013-8-18 华东师范大学 电子系 马潮 副教授 5

3×102+7×101+4 ×100 +5×10-1+3×10-2 对于n位整数m位小数的任意十进制数N, 可用多项式表 示如下：

N10= Kn-1· n-1+Kn-2· n-2+…+K1· 1+K0· 0+K-1· -1 10 10 10 10 10 +K-2· -2+…+K-(m-1)· -(m-1)+K-m· -m  10 10 10

i m

ki 10i 其中i表示数的第一位； Ki表示第i位的数字，它可以

为 0~9 中的任一数字；m和n为正整数。式中 10 为十进制 的基数。

n 1

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2. 二进制数人们习惯用十进制计数，但在电子计算机中， 数是以器 件的物理状态来表示的，计算机中采用双稳态电子器件作为 保存信息的基本元件，因此计算机中采用二进制数。 在二进 制中，只有 0 和 1 两个数字。二进制数同样采用位置记数法，

它的基数为 2,每个数位上的权是 2 的某次幂。对于n位整数m位小数的任意二进制数N2, 可以用多项式 表示如下：

N2

i m

ki 2i (ki 0或1) 7

n 1

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例如： (1101.011)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3

3. 十六进制数计算机中采用二进制数， 优点是物理实现容易且运算特

别简单，缺点是书写冗长。因此常用十六进制(或有时用八进制)代替二进制来书写数据。在十六进制中， 有 0,1,…,9, A,B,C,D,E,F等十六个数字符号， 其中A、B、C、D、E、F分 别与十进制中的 10、11、12、13、14、15 这 6 个数相对应。 十六进制数同样采用位置记数法，其基数 16,每一数位上的 权是 16 的某次幂。2013-8-18 华东师范大学 电子系 马潮 副教授 8

对于n位整数m位小数的任意十六进制数N16,可以用多项 式表示如下：N16 i m

ki .16i

n 1

(Ki=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) 例如(10AF.12)16=1×163+0×162+10×161+15×160+1×161+2×16-2

实际表示时，一个十六进制数如果最高位数字为字母(A-F),

则字母前面必须加一个 0,以便与变量名等相区别。

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表 2.1 给出了以上四种数制的对应关系。为避免混淆， 可在数字的后面加填不同数制的区分符。 区分符可以是数字 角注， 例如 53710或 537(十进制),11012(二进制),0EA216(十 六进制),也可以用字母标注，其中：字母B(Binary)表示为二 进制数；字母D(Decimal)或不加字母表示为十进制数；字母

H(Hcxadccimal)表示为十六进制数。一般来说， 对于基数为X的任一数可以用多项式表示为 

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i m

Ki . X i 10

n 1

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Ki——第i位的系数，可以为 0,1,…,(X-1)共X个数字符号中任一数字符号； m,n——幂指数，均为正整数； Xi——第i位的权。 教科书的第1页给出了计数制的标准定义。

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1.1.2各种数制的相互转换1. 非十进制数转换成十进制数 非十进制数转换成十进制数比较简单，可先将其按定义 展开为多项式，再将系数

及权均用十进制表示按十进制进行 乘法与加法运算，所得结果即为该数对应的十进制数。

例1.1.1 将二进制数 1101.101 转换为十进制数。转换过程如下： 1101.101B =1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3  =8+4+1+0.5+0.125 =13.6252013-8-18

∴ 1101.101B=13.625 电子系 马潮 副教授 华东师范大学

例1.1.2 将十六进制数2AE.4转换为十进制数。2AE.4H =2×162+10×161+14×160+4×16-1 =512+160+14+0.25 =686.25 ∴ 2AE.4H=686.25

2. 十进制数转换成非十进制整数(1) 十进制整数转换成非十进制整数 设N为任一十进制整数， 若要把它转换成n位X进制整 数， 则  N =2013-8-18

ki X i kn 1 X n 1 kn 2 X n 2 k1 X 1 K0  i 0

n 1

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显然, 等式右边，除了最后一项K0以外，其余各项都包含 基数X的因子，都能被X除尽。 所以等式两边同除以基数X, 余数正是要求的X进制数的最低位K0。商为  K n-1 X n-2 + K n-2 X n-3 +…+K 2 X 1+K1 同理，上式中各项除K1外，其余各项都包含基数X的因子， 都能被X除尽。所以再将商除以X,余数正是要求的X进制数 的次低位K1, 商为 K n-1X n-3+Kn-2Xn-4+…+K3X1+K2 如此一直进行下去， 直到商等于 0 为止，就得到一系列 余数，它们正是要求的X进制数的各位。2013-8-18 华东师范大学 电子系 马潮 副教授 15

这样我们可以把十进制整数转换为X进制整数的方法总 结为用该数或商“除以基数取余数，先为低位后为高位”。  例1.1.3 将十进制数 301 转换为二进制数。 转换过程如下：301/2=150150/2=75

k0=1k1=0

9/2 = 44/2 = 2

k5=1k6=0

75/2 = 3737/2 = 18 18/2 = 92013-8-18

k2=1k3=1 k4=0

2/2 = 11/2 = 0

k7=0k8=1

|

华东师范大学 ∴ 301 = 100101101B 电子系 马潮 副教授