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4.2 简单线性规划

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1.了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念. 2.掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是 确定最优解的方法.

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1.求目标函数的最值是本课的热点. 2.常以选择题、填空题的形式考查. 3.利用线性规划知识求解实际问题是本课的难点，多以解答题形式考查.

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1.二元一次不等式表示平面区域的确定 (1)直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它们的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得的符号都 相同 . Ax(2)在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点 0+By0+C (x0,y0),由 的符号可以断定Ax+ By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的 平面区域.

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2.小汪是班里的班长，她计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小 x≥10 y≥20 彩球装点联欢晚会的会场.经过实地考察， 则 x,y 满足的条件为 ,你能帮助小汪设 她算出需要大球数不少于10个，越多越好， 2x+y<100 x,y∈N 小球数也越多越好，但是不少于20个，若 设他买x个大球和y个小球， 计一下应该如何购买吗？能给出几种购买方案呢？+

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线性规划中的基本概念

名称 意义 约束条件 变量x,y满足的一组条件 二元一次 不等式(或方程)组 线性约束 由x,y的 二元一次 条件 成的不等式组 点 欲求最大值或最小值所涉及的变量x, 目标函数 y的解析式 平面区域 最大值 最小值 线性目标 目标函数是关于x,y的 函数 解析式 可行解 满足线性约束条件的

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1.下列目标函数中，z表示在y轴上的截距的是( ) A.z=x-2y C.z=x+y 答案： CB.z=3x-y D.z=x+4y

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x+y≤5 2x+y≤6 2. 图中阴影部分的点满足不等式组 x≥0 y≥0

, 在这

些点中，使目标函数 z=6x+8y 取得最大值的点的坐标是 ( )

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A.(1,4) C.(5,0) 答案： B

B.(0,5) D.(3,0)

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x-4y≤-3 3.已知变量 x,y 满足条件 3x+5y≤25 x≥1

,设 z=2x+

y, 取点(3,2)可求得 z=8; 取点(5,2)可求得 zmax=12, 取点(1,1) 可求得 zmin=3; 取点(0,0)可求得 z=0, 点(3,2)叫做________, 点(0,0)叫做________,点(5,2)和点(1,1)均叫做________.

答案： 可行解 非可行解 最优解

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x+2y≤4 4.设 x,y 满足约束条件 x-y≤1 x+2≥0 3x-y 的最大值为________.

,则目标函数 z=

解析： 约束条件确定的可行域如图所示(阴影部分) 目标函数z=3x-y,即y=3x-z, 当直线过A点时，z取最大值.

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x+2y=4 由 x-y=1

,得 A(2,1)

zmax=3×2-1=5.

答案： 5

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x+y≥3 5.设变量 x,y 满足约束条件 x-y≥

-1 2x-y≤3 数 z=2x+3y 的最小值. x+y≥3 解析： 作出不等式组 x-y≥-1 2x-y≤3 表示的平面区域，即可行域，如图中阴 影部分所示.

,求目标函

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2x z 把 z=2x+3y 变形为 y=- 3 +3, 2 z 得到斜率为-3,在 y 轴上的截距为3, 且随 z 变化的一族平行直线. 2x z 由图可知，当直线 y=- 3 +3经过可行域上的点 B 时， z 截距3最小，即 z 最小. x+y=3 解方程组 ,得 B(2,1). 2x-y=3

所以 zmin=4+3=7.

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