1、已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC 已知点D BC的中点， 的中点 点的直线交AC 于E,交BA的延长线于F,求证： E,交BA的延长线于F,求证： 的延长线于F,求证F利用比例式够造平行线，通 过中间比得结论

AF AE = BF EC

A E利用中点”倍长中线”的思 想平移线段EC,使得所得四条 线段分别构成两个三角形

B

C D

已知：在等腰三角形 已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD是 中 ， 是 求证： 高，求证：BC2=2AC·CD本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这 2 一线段2倍是哪一线段。

A

D B C

已知：从直角三角形 已知：从直角三角形ABC的 直角顶点 向斜 的 直角顶点A向斜 引垂线， 的中点为E,直 边BC引垂线，垂足为 ，边AC的中点为 直 引垂线 垂足为D, 的中点为 与边AB的延长线交于 线ED与边 的延长线交于 ， 与边 的延长线交于F, 求证： 求证：AB:AC=DF:AFA E B D F C找到后以比例式所在三角形与 哪个三角形相似 利用前两题的 思想方法，借助中 点构造中位线，利用平行与2倍 关系的 结论，证明所得结论

1、如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是 、如图， 边上中线， 是 中 是 边上中线 AC上一点，连接 且交 的延长线于 点. 上一点， 且交AB的延长线于 上一点 连接ED且交 的延长线于F点 注意观察图形的 求证： : 求证：AE:EC=AF:BF : 特殊性，有些像A E C全等中，旋转的 基本图形，因此 可以没有相互关 系的 成比例的 四条线段转化为 成比例的四条线 段(通过全等找 相等的 线段) 关键是要把成比 例线段放在两个 三角形中

D

B F

2、如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中 、如图，平行四边形 中 为 边中 边上， 点，点F在AD边上，且AF:FD=1:2,EF交 在 边上 ： : , 交 AG AC于G,求 GC 的值 于 ，.

D

C

F A

G E B

1、在 ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD 、 中 是中线， 是 是中线 上一点， 延长BP交 于 ， 上一点，过C作CF∥AB,延长 交AC于E,交 作 ∥ 延长 CF于F,求证：BP2=PE·PF 求证： 于 求证在同一直线上的三条线段成 比例，可以通过中间比转化，

A也可以通过线段相等，把共 线的线段转化为两个三角形 中的 线段，通过相似证明。 另外在证明等积式时要先转 化为比例式观察相似关系， 有利于证明

F E P B D C

1、如图，AD是∠BAC的平分线，EF是AD 、如图， 是 的平分线， 是 的平分线 的垂直平分线，求证： 的垂直平分线，求证：ED2=EB·ECA F

B

D

C

E

2、如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点， 、如图，在矩形 的中点， 中 是 的中点 EF⊥EC交AB于F,连接 ⊥ 交 于 ，连接FC(AB>AE), 求证： 求证： AEF∽ ECF ∽A E D

F C B

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AC、BD 、

如图，梯形 中 ∥ , 、 交于O点 的延长线交于E点 交于 点，BA、CD的延长线交于 点，连结 、 的延长线交于 EO并延长分别交 、BC于N、M 并延长分别交AD、 于 、 并延长分别交 E 求证： 求证： BM=CMAj N O D

AN MC

=

AO AD EA AN = = = OC BC EB BM

B

M

C

2、已知，在 ABC中，若 、已知， 中 AB=BC,∠B=90º,AD为BC边的中线，过B作 边的中线， ∠ 为 边的中线 作 直线BP⊥ 于 交 于 ，求证： 直线 ⊥AD于P交AC于E,求证： AE=2EC ;∠AEB= ∠CED. ∠A E B D C

观察图形，探究结论： 观察图形，探究结论：如图， 如图，⊙o的两条弦AB、CD相交于点E, 的两条弦AB、CD相交于点E AB 相交于点C A E B D

AC和DB的延长线交于点P AC和DB的延长线交于点P, 的延长线交于点P

请你说出图中有哪些比例线段？ 请你说出图中有哪些比例线段？△PBA∽△PCD ∽ PB BA PA = = PC CD PD

△ACE∽△DBE ∽ AC CE AE = = DB BE DE

巩 固 练 习

1.如图： 1.如图：若⊙o的 如图 直径AB⊥CD AB⊥CD于 直径AB⊥CD于P, AP=CD=4cm。求 AP=CD=4cm。 OP的长 的长。 OP的长。D A O

2. 已知：Rt△ABC的 已知：Rt△ABC的 两条直角边AC BC的 AC、 两条直角边AC、BC的 长分别为3cm 4cm, 3cm、 长分别为3cm、4cm, AC为直径作圆与斜 以AC为直径作圆与斜 AB交于点 交于点D 边AB交于点D 。求BD A 的长。D B .O C第2题

.PC

B

第1题

如图， 交于⊙ 内一点 内一点P, 如图，弦AB和CD交于⊙O内一点 ， 和 交于 AP=2cm, PB=6cm, , ,3、

。(请结合 。(请结合 图形，将题目补充完整。) 图形，将题目补充完整。)D A C P B

提 高 练 习

1、已知，如图，AB是⊙O的弦， 已知，如图，AB是 的弦， AB上的一点 AB=10cm, 上的一点， P是AB上的一点，AB=10cm, PA=4cm,OP=5cm。求⊙O的半 PA=4cm,OP=5cm。 C 径。.O B E P D A