四、几种特殊类型函数的积分1.有理函数的积分 ( I )有理函数具体可表示为

P ( x ) a 0+ a1 x+ L+ a n x n R( x )== Q ( x ) b0+ b1 x+ L+ bm x mn< m时， ( x )是真分式；n≥ m时， R( x )是假分式. R任一假分式可以通过多项式除法化为一个多项式与一真分式之和.

例如

x4+ 5 4x+ 2= x2 2x+ 3+ 2 x2+ 2x+ 1 x+ 2x+ 1

P( x) (II)将真分式 R( x )=分解为部分分式. Q( x )原理 Q ( x )在实数范围内可分解为一次因式与二次因式之积.

(i )

2x+ 3 2x+ 3 A B C==++ 3 2 x+ x 2 x x ( x+ 2)( x 1) x x+ 2 x 1

(ii )

x3+ 1 B C A D+=++ 3 3 2 x ( x 1) x 1 x ( x 1) ( x 1)

A Bx+ C x+4=+ 2 (iii ) 2 ( x 1)( x+ x+ 3) x 1 x+ x+ 3 2 x 2+ 2 x+ 13 A Bx+ C Dx+ E (iv )=+ 2+ 2 2 2 2 x 2 ( x+ 1) ( x 2)( x+ 1) x+1(III)确定待定系数

(IV)四种部分分式的积分类型

(i )

∫

dx= ln| x a|+ C x a

dx 1 1 (ii )∫= +C n n 1 1 n ( x a) ( x a) (iii )

∫

Ax+ B d x ( p 2< 4q ) x 2+ px+ q

Ax+ B (iv )∫ 2 d x ( p 2< 4q ) ( x+ px+ q ) m

例1

∫

3x 2 dx 2 x+ 2x+ 4

1 3 2x+ 2 dx=∫ 2 dx 5∫ 2 2 x+ 2x+ 4 x+ 2x+ 4 3 d( x 2+ 2 x+ 4) dx=∫ 5∫ 2 2 x+ 2x+ 4 ( x+ 1) 2+ 3

5 3 2= ln( x+ 2 x+ 4) ∫ 3 2

dx2

x+ 1 1+ 3 5 x+1 3 2 arctan+C= ln( x+ 2 x+ 4) 3 3 2

8 x+ 31 2x+ 4 dx例2∫ 2 dx= 4∫ 2 d x+ 15∫ 2 ( x+ 4 x+ 13) 2 ( x+ 4 x+ 13) 2 ( x+ 4 x+ 13) 2=4

∫ ( x 2+ 4 x+ 13)dx

d( x+ 4 x+ 13)

2

+ 15 2

∫

4 dx= 2+ 15 2 2 2 2 x+ 4 x+ 13[( x+ 2)+ 9][( x+ 2)+ 9]dx

∫

3 sec 2 t∫[( x+ 2)2+ 9]2 (令 x+ 2= 3 tan t )=∫ 81 sec4 t d t1 t 1 1 1+ cos 2t 2 sin 2t+ C dt=+= cos t d t= 54 108 27 27 2

∫

∫

tan t=2

x+2 3

1 x+2 1= arctan+ 54 3 54∴ 8 x+ 31

x+2 x+ 4 x+ 132 2

3 x+ 4 x+ 13

+C

x+ 4 x+ 13 x+ 2

∫ ( x 2+ 4 x+ 13)2 dx 4

t3

x+2 x+ 2 15 15+C= 2+ arctan+ 2 3 18 x+ 4 x+ 13 x+ 4 x+ 13 54

例3

∫

2x 1 dx 3 2 x 2x+ x

2x 1 A B C=++ x x 1 ( x 1) 2 x ( x 1) 2 A( x 1) 2+ Bx ( x 1)+ Cx= x ( x 1) 2 A= 1,B= 1,

C=1

∫

1 1 1 2x 1=∫(+ ) dx+ dx 2 3 2 x x 1 ( x 1) x 2x+ x= ln| x|+ ln| x 1| 1+C x 1

例 4

1∫ (1+ 2 x )(1+ x 2 ) dx . 2 1 4 x+ 1 dx=∫ 5 dx+∫ 5 2 5dx∫ (1+ 2 x )(1+ x 2 ) 1+ 2x 1+ x1 1 2 1 2x= ln(1+ 2 x ) ∫ dx dx+∫ 2 2 5 1+ x 5 5 1+ x

解

2 1 1= ln(1+ 2 x ) ln(1+ x 2 )+ arctan x+ C . 5 5 5

2.三角有理式函数的积分

(I )

x ( π< x<π ) 2 2则 x= 2 arctan t, d x= d t, 2 1+ t x 2 tan 2= 2t= sin x 2 x 1+ t2 1+ tan 2 2 x 1 tan 1 t2 2= cos x= 2 x 1+ t2 1+ tan 2万能代换： t= tan

∫ R(sin x, cos x ) d x

2t 1 t 2 2

∴∫ R(sin x, cos x ) d x=∫ R(, ) dt 2 2 2 1+ t 1+ t 1+ t

dx例5∫ 4+ 5 cos x=∫=

x (令 t= tan ) 22 1+ t dt=∫ 2

11 t 2 4+ 5 1+ t 2

2 dt 2 9 t

1 1 1 +∫ 3 t 3+ t d t 3

1 3+ t= ln+C 3 3 t

x 1 2+C= ln x 3 3 tan 2 3+ tan

例 6解一

1∫ sin 4 x dx .x u= tan, 2 2u, sin x= 2 1+ u 2 du, dx= 2 1+ u

1 1+ 3u 2+ 3u 4+ u 6 du∫ sin 4 x dx=∫ 4 8u 1 3 u3 1=[ 3 + 3u+]+ C 8 3u u 3

x 1 x 3= + tan+ tan + C . 3 x 8 2 24 2 x 8 tan 24 tan 2 2 1 3

3

解二

令 u= tan x

1 1 1 u sin x=,=== 2 1 2 csc x 1+ u2 1+ cot x 1+ u1 du, dx= 2 1+ u 1 1 1 1+ u2 du=∫ du∫ sin 4 x dx=∫ 4 2 4 u u 1+ u 2 1+ u

1 1 1= cot 3 x cot x+ C .= 3 +C 3 3u u

解三

可以不用万能置换公式.1 dx=∫ csc 2 x (1+ cot 2 x )dx∫ sin 4 x=∫ csc xdx+∫ cot x csc 2 xdx= cot x ∫ cot 2 x d(cot x )2 2

1 3= cot x cot x+ C . 3

结论

比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.

3.简单无理函数的积分

已解决的无理函数： R( x, ax 2+ bx+ c )(I )

∫ R( x,

n

ax+ b ) dx

x+1+1例8∫ d x 3 2 ( x+ 1) ( x+ 1)

(令 t=

6

x+ 1)

t ( t 3+ 1) t3+ 1 dt=∫ 6 4 6 t 5d t= 6∫ 2 t 1 t t

1 t ( t 2 t+ 1) 2 ) d t d t= 6∫ ( t+ 1+= 6∫ t 1 t 1= 2t 3+ 6t+ 6 ln| t 1|+ C

= 2 x+ 1+ 6 x+ 1+ 6 ln| x+ 1 1|+ C

6

6

ax+ b (II )∫ R( x, ) dx (ad≠ bc ) cx+ d 1 3 x+1 1例9∫ 3 d x=∫ d x 2 x+1 x 1 ( x 1)( x+ 1)n

令t=

3

x+1 t3+ 1 6t 2,则 x= 3, d x= 3 dt 2 x 1 t 1 ( t 1)

6t 2 t3 1 dt=∫ t 3 2 3 ( t 1) 2t

3 dt=∫ 3 t 1 1 t+2=∫(+ 2 ) dt t 1 t+ t+1

3 dt dt 1 2t+ 1= ∫+∫ 2 dt+∫ 2 ( t+ 1 )2+ 3 t 1 2 t+ t+1 2 4 3 2 1 1 2 2 arctan (t+ ) + C= ln| t 1|+ ln( t+ t+ 1)+ 2 3 2 3 2

= ln

3

x+1 1 3 1+ ln x 1 23

x+ 1 + x 1 2

3

x+1+1 x 1

2+ 3 arctan 3

x+1 1 + +C x 1 3

arcsin x例 10∫ d x 1 x=∫

令 t= arcsin x,则 x= sin 2 t

t 2 sin t cos t d t= 2∫ t d cos t cos t

= 2t cos t+ 2∫ cos t d t= 2t cos t+ 2 sin t+ C= 2 1 x arcsin x+ 2 x+ C