数学归纳法

一、教学目标：

1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。

2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。

3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。

5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习：

1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+12、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2， ，命题都成立.

3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n（二）、探究新课

例1、求证：n3 (n 1)3 (n 2)3能被9整除，n N 。

证明：（1）当n=1时，13 (1 1)3 (1 2)3 36，36能被9整除，命题成立；

（2）假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即k3 (k 1)3 (k 2)3能被9整除。 当n＝k+1时，

(k 1)3 (k 2)3 (k 3)3 (k 1)3 (k 2)3 k3 3k2 3 3k 32 33

k (k 1) (k 2) 9(k 3k 3)

由假设可知，上式的两部分都能被9整除。 故n＝k+1时，命题也成立。

根据（1）和（2）可知对任意的n N ，该命题成立。

333

2

证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。 例2、证明：凸n边形的对角线的条数f(n) 证明：（1）当n=4时，f(4)

1

n(n 3),(n 4)。 2

1

4 (4 3) 2，四边形有两条对角线，命题成立。 2

（2）假设n＝k(k≥4)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数

f(k)

1

k(k 3),(k 4). 2

当n＝k+1时，凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点

Ak 1，增加的对角线条数是顶点Ak 1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边（k+1-3）+1=k-1 A1Ak，共增加的对角线条数为：

∴

f(k 1)

1111

k(k 3) k 1 (k2 k 2) (k 1)(k 2) (k 1)[(k 1) 3]。 2222

故n＝k+1时，命题也成立。

根据（1）和（2）可知对n≥4，n N 公式都成立。

用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。

例3、已知数列 an 满足an 1 纳法证明。 解：由an 1

1

，a1 0，试猜想 an 的通项公式并用数学归2 an

1

和a1 0，得 2 an

a2

11

，a3 2 02

12 12

3412

2， 34， 5

a4

12

23

3

，a5 4

归纳上述结果，可得猜想an

n 1

(n 1，2， )。 n

下面用数学归纳法证明这个猜想。

1 1

0，等式成立。 1

k 1

（2）假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即ak 成立。

k

（1）当n＝1时，左边 a1 0，右边

那么，当n＝k+1时，

ak 1

1

2 ak

1k(k 1) 1

。 k 1k 1k 12

k

这就是说，当n＝k+1时等式成立。 根据（1）和（2），可知猜想an

n 1

对任意正整数n都成立。 n

探索性命题的求解一般分三步进行：①验证p⑴，p⑵，p⑶，p⑷， ；②提出猜想；③用数学归纳法证明。

（三）、小结：使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。 （四）、练习：课本P19练习. （五）、作业：课本P19习题1-4：2. 五、教后反思：