同济高数第六版课后答案详解

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习题1 1

1 设A ( 5) (5 ) B [ 10 3) 写出A B A B A\B及A\(A\B)的表达式

解 A B ( 3) (5 )

A B [ 10 5)

A\B ( 10) (5 )

A\(A\B) [ 10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (A B)C AC BC

证明 因为

x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x AC BC 所以 (A B)C AC BC

3 设映射f X Y A X B X 证明

(1)f(A B) f(A) f(B)

(2)f(A B) f(A) f(B)

证明 因为

y f(A B) x A B 使f(x) y

(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)

y f(A) f(B)

所以 f(A B) f(A) f(B)

(2)因为

y f(A B) x A B 使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)

所以 f(A B) f(A) f(B)

4 设映射f X Y 若存在一个映射g Y X 使g f IX f g IY 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射 即对于每一个x X 有IX x x 对于每一个y Y 有IY y y 证明 f是双射 且g是f的逆映射 g f 1

证明 因为对于任意的y Y 有x g(y) X 且f(x) f[g(y)] Iy y y 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射

又因为对于任意的x1 x2 必有f(x1) f(x2) 否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2

因此f既是单射 又是满射 即f是双射

对于映射g Y X 因为对每个y Y 有g(y) x X 且满足f(x) f[g(y)] Iy y y 按逆映射的定义 g是f的逆映射

5 设映射f X Y A X 证明

(1)f 1(f(A)) A

(2)当f是单射时 有f 1(f(A)) A

证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A))

所以 f 1(f(A)) A

(2)由(1)知f 1(f(A)) A

另一方面 对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A) 使f 1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射 所以x A 这就证明了f 1(f(A)) A 因此f 1(f(A)) A 6 求下列函数的自然定义域

(1)y x 2

解 由3x 2 0得x 2 函数的定义域为[ 2, ) 33

(2)y 1

2 1 x

解 由1 x2 0得x 1 函数的定义域为( 1) ( 1 1) (1 )

(3)y 1 x2 x

解 由x 0且1 x2 0得函数的定义域D [ 1 0) (0 1]

(4)y 1 4 x2

解 由4 x2 0得 |x| 2 函数的定义域为( 2 2)

(5)y sin

解 由x 0得函数的定义D [0 )

(6) y tan(x 1)

解 由x 1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2 22

)

(7) y arcsin(x 3)

解 由|x 3| 1得函数的定义域D [2 4]

(8)y x arctan1 x

解 由3 x 0且x 0得函数的定义域D ( 0) (0 3)

(9) y ln(x 1)

解 由x 1 0得函数的定义域D ( 1 )

(10)y ex

解 由x 0得函数的定义域D ( 0) (0 )

7 下列各题中 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？

(1)f(x) lg x2 g(x) 2lg x

(2) f(x) x g(x) x2

(3)f(x) x4 x3 g(x) xx 1

(4)f(x) 1 g(x) sec2x tan2x

解 (1)不同 因为定义域不同

(2)不同 因为对应法则不同 x 0时 g(x) x

(3)相同 因为定义域、对应法则均相相同

(4)不同 因为定义域不同

|sinx| |x| 3 求 ( ) ( ) ( ) ( 2) 并作出函数y (x) 8 设 (x) 464 0 |x| 3

的图形

解 ( ) |sin | 1 ) |sin | ( ) |sin( )| ( 2) 0 442442662

9 试证下列函数在指定区间内的单调性

(1)y x ( 1) 1 x

(2)y x ln x (0 )

证明 (1)对于任意的x1 x2 ( 1) 有1 x1 0 1 x2 0 因为当x1 x2时 y1 y2 xxx x 0 1 x11 x2(1 x1)(1 x2)

所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的 1 x

(2)对于任意的x1 x2 (0 ) 当x1 x2时 有

y1 y2 (x1 lnx1) (x2 lnx2) (x1 x2) lnx 0 x2

所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的

10 设 f(x)为定义在( l l)内的奇函数 若f(x)在(0 l)内单调增加 证明f(x)在( l 0)内也单调增加

证明 对于 x1 x2 ( l 0)且x1 x2 有 x1 x2 (0 l)且 x1 x2

因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数 所以

f( x2) f( x1) f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)

这就证明了对于 x1 x2 ( l 0) 有f(x1) f(x2) 所以f(x)在( l 0)内也单调增加 11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间( l l)上的 证明

(1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数

(2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数

证明 (1)设F(x) f(x) g(x) 如果f(x)和g(x)都是偶函数 则

F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)

所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数

如果f(x)和g(x)都是奇函数 则

F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)

所以F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数

(2)设F(x) f(x) g(x) 如果f(x)和g(x)都是偶函数 则

F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)

所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数

如果f(x)和g(x)都是奇函数 则

F( x) f( x) g( x) [ f(x)][ g(x)] f(x) g(x) F(x)

所以F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数

如果f(x)是偶函数 而g(x)是奇函数 则

F( x) f( x) g( x) f(x)[ g(x)] f(x) g(x) F(x)

所以F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数

12 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？

(1)y x2(1 x2)

(2)y 3x2 x3

(3)y 1 x

2 1 x

(4)y x(x 1)(x 1)

(5)y sin x cos x 1

x xa a (6)y 2

解 (1)因为f( x) ( x)2[1 ( x)2] x2(1 x2) f(x) 所以f(x)是偶函数

(2)由f( x) 3( x)2 ( x)3 3x2 x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数

1 ( x)21 x2 f(x) 所以f(x)是偶函数 (3)因为f( x) 221 x1 x2

(4)因为f( x) ( …… 此处隐藏：3670字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……