第八章玻色统计和费米统计

8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即

S=klnΩ.

解:对于理想费米系统，与分布{al}相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））

Ω=∏

l

ωl!

al!ωl al!

（1）

取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））

lnΩ=∑ ωllnωl allnal (ωl al)ln(ωl al) .

l

（2）

另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为

S=k lnΞ αlnΞ βlnΞ

α β =klnΞ+αN+βU

()

（3）

=k lnΞ+∑(α+βεl)al ,

l

其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））

lnΞ=∑ωlln1+e α βεl.

l

()

（4）

由费米分布

al=

ωl

eα+βεl+1

易得

147

1+e α βεl=

ωlωl al

（5）

和

α+βεl=ln

ωl al

.al

（6）

将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为

lnΞ=∑ωlln

l

ωl

ωl al

（7）

将式（6）和式（7）代入式（3），有

ωlω a

S=k∑ ωlln+allnll

ωl alal l

=k∑ ωllnωl allnal (ωl al)ln(ωl al) .

l

（8）

比较式（8）和式（2），知

S=klnΩ.

（9）

对于理想玻色系统，证明是类似的.

8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为

SB.E.=k∑ fslnfs (1+fs)ln(1+fs) ,

s

SF.D.= k∑ fslnfs+(1 fs)ln(1 fs) ,

s

其中fs为量子态s上的平均粒子数.证明，当fs<<1时，有

∑

s

表示对粒子的所有量子态求和.同时

SB.E.≈SF.D.≈SM.B.= k∑(fslnfs fs).

s

解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为

SF.D.=k∑ ωllnωl allnal (ωl al)ln(ωl al)

l

ωl alal

= k∑ (ωl al)ln+alln

ωωl l l

148

al

= k∑ωl 1

l ωl al

ln 1 ωl alal +ln , ωlωl

（1）

式中∑表示对粒子各能级求和.以fs=

l

al

表示在能量为εl的量子态s上的平ωl

均粒子数，并将对能级l求和改为对量子态s求和，注意到

∑ω~∑

ll

s

,

上式可改写为

SF.D.= k∑ fslnfs+(1 fs)ln(1 fs) .

s

（2）

由于fs≤1，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.

对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明

SF.D.= k∑ fslnfs (1+fs)ln(1+fs) .

s

（3）

对于玻色系统fs≥0，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.

在fs<<1的情形下，式（2）和式（3）中的

±(1 fs)ln(1 fs)≈±(1 fs)( fs)≈ fs

所以，在fs<<1的情形下，有

SB.E.≈SF.D.≈ k∑(fslnfs fs).

s

（4）

注意到∑fs=N，上式也可表示为

s

SB.E.≈SF.D.≈ k∑fslnfs+Nk.

s

（5）

上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.

8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为

3

22 311Nh U=NkT 1±5 2gV 2πmkT 2 2

（1）

（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利

149

用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）

p=

2U

,3V

（2）

可直接求得弱简并气体的压强为

3

22 11h ,p=nkT 1±5n g 2πmkT 2 2

（3）

式中n=

N

是粒子数密度.V

U CV=

T V

31=Nk 1 7

22 2

h n , 2πmkT

2

32

由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为

（4）

参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为

S=∫

CV

dT+S0(V).T

（5）

将式（4）代入，得弱简并气体的熵为

S=

311 h

NklnT±Nk7n +S0(V).2g 2πmkT

22

2

32

（6）

式中的函数S0(V)可通过下述条件确定：在

nλ3=

N h

<<1V 2πmkT

2

32

的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g），可确定S0(V)，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为

33

2

2 2πmkT 2 511 h

S=Nk lnng . +±7 2

h2g2πmkT 22

（7）

弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数lnΞ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱

150

简并条件作相应的近似.关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.

8.4

试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-

受因斯坦凝聚.

解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度Tc，气体的化学势将趋于-0.在T<Tc时将有宏观量级的粒子凝聚在ε=0的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚.临界温度Tc由条件

∫

确定.

+∞

D(ε)dεe

ε

kTc

=n

（1）

1

将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））

2πL2

D(ε)dε=2mdε

h

代入式（1），得

+∞2πL2

m∫0h2

dεe

εkTc

=n.

（2）

ε

，上式可改写为kTc

1

二维理想玻色气体的凝聚温度Tc由式（2）确定.令x=

+∞dx2πL2

mkT=n.c∫0h2ex 1

（3）

在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有

11 x x 2x

==e1+e+e+ ),(xx x

e 1e1 e则

∫

+∞

dx11

=1+++ x

e 123

1

=∑.n=1n

∞

（4）

式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱

151

因斯坦凝聚.

8.5约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场

12222

V=m(ωxx+ωyy+ωx2z2)2

中运动.如果原子是玻色子，试证明：在T≤Tc时将有宏观量级的原子凝聚在能量为

ε0=

3

ωx+ωy+ωz)(2

的基态，在N→∞,ω→0,Nω保持有限的热力学极限下，临界温度Tc由下式确定：

kT N=1.202× c ,

3

其中ω=(ωxωyωz).温度为T时凝聚在基态的原子数N0与总原子数N之比为

T N0

=1 .N Tc

3

1

3

解:约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为

22 py pz21 px 1122 22

ε= +mωxx + +mωyy + +mωz2z2 ,

2m2 2m2 2m2

（1）

这是三维谐振子的能量（哈密顿量）.根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为

1 1 1

εnx,ny,nz= ωx nx+ + ωy ny+ + ωz nz+ ,

2 2 2

nx,ny,nz=0,1,2,

（2）

如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T时处在量子态nx,ny,nz上的粒子数为

anx,ny,nz=

e

1

1 1 1 1

ωx nx+ + ωy ny+ + ωz nz+ µ kT 2 2 2

. 1

（3）

处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即

152

µ<ε0≡

ωx+ωy+ωz).(2

1

（4）

化学势µ由

N=

nx,ny,nz

∑

e

1

nxωx+nyωy+nzωz+ε0 µ kT

()

（5）

1

确定.化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值Tc时，µ将趋于ε0.临界温度Tc由下式确定：

N=

nx,ny,nz

∑

1

e

1

nxωx+nyωy+nzωz kT

()

1

（6）

或

N=

nx,ny,nz

∑

1e

nx+ny+nz

1

（7）

其中

ni=

ωi

nikTc

(i=x,y,z).

在

ωi

可以将ni看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替.注<<1的情形下，

kTc

意到在dnxdnydnz范围内，粒子可能的量子态数为

kTc dxdydz,

3

即有

kT N= c

ω

3

∫e

dxdydz

x+y+z

1

,

（8）

式中ω=(ωxωyωz).

为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为

1ex+y+z 1

=

1

(x+y+z)

ex+y+z 1 e

x+y+z

1

3

=e

()

∑e

l=0

∞

lx+y+z

()

.

积分等于

153

∞+∞+∞+∞dnxdnydnz ly lx

ednx∫edny∫e lzdnz

∫ex+y+z 1=∑∫000

l=0∞

1=∑3l=0l=1.202.

所以式（8）给出

N

kTC= .

1.202

3

1

3

（9）

式（9）意味着，在N→∞,ω→0而Nω保持有限的极限情形下，kTC取有限值.上述极限称为该系统的热力学极限.

在T<<Tc时，凝聚在基态的粒子数N0由下式确定：

kT

N N0=1.202 ,

3

上式可改写为

T N0

=1 .N TC

3

（10）

式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果.实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异.互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同.关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovoetal.Rev.Mod.Phys.1999,71（465）.

8.6

承前8.5题，如果ωz>>ωx,ωy，则在kT<< ωz的情形下，原子在z方

ωx+ωy)的基态，在(2

向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.试证明T<TC时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为ε0=

2

N→∞,ω→0,Nω保持有限的热力学极限下，临界温度Tc由下式确定：

kT

N=1.645 C ,

ω

2

其中ω=(ωxωy).温度为T时凝聚在基态的原子数N0与总原子数N之比为

T N0

=1 .N TC

154

2

1

2

解:在ωz>>ωx,ωy的情形下，原子z方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.与8.5题相似，在T<Tc时将有宏观量级的原子凝聚在能量为ε0=

(ωx+ωy)的基态.临界温度Tc由下式确定：2

kT N= C

ω

2

∫

+∞

dnxdnyex+y 1

2

kT =1.645 C ,

ω

（1）

其中

=(ωxωy),

12

∫

+∞

∞

dnxdny1

==1.645.∑2nx+ny

e 1l=1l

（2）

在N→∞,ω→0而Nω保持有限的热力学极限下kTc为有限值，有

N kTC= ω .

1.645

12

（3）

T≤TC时凝聚在基态的原子数N0与总原子数N之比由下式确定：

kT

N N0=1.645 ,

ω

2

或

T N0

=1 .N TC

2

（4）

低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovoetal

etal.及其所引文献.低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见Gorlirz

Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.

8.7计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算

（a）温度为1000K的平衡辐射.

（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.

解:式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V内，在ω到ω+dω的圆频率范围内光子的量子态数为

155

D(ω)dω=

Vπ2c3

ω2

dω.温度为T时平均光子数为

N(ω,T)dω=

D(ω)dω ω.

e

kT

1

因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为

2N(T)=V

π2c

3

∫

+∞

ωdω0

ωe

kT

1

引入变量x=

ω

kT

，上式可表示为3

N(T)=V kT

x2dxπ2c3

∫

+∞

ex 1

2.404k3

=π2c3

3VT3.

或

(T)=2.404k3

n3π2c3

3T.

在1000K下，有

n≈2×1016m 3.

在3K下，有

n≈5.5×108m 3.

8.8试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为

u(λ,T)dλ=

8πhcdλλ5

hc,

e

λkT

1

并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长λ hc

m满足方程

x=

λkT m

5e x+x=5.

这个方程的数值解为x=4.9651.因此

λhc

mT=

4.9651k

,

λm随温度增加向短波方向移动.

156

（1）

（2）

（3）

（3）

解:式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为

1 ω3

u=(ω,T)dω=23 ωdω.

πckT

e 1

2πc

根据圆频率与波长熟知的关系ω=，有

λ

2πcdω=2dλ.

λ

（1）

（2）

如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得

u(λ,T)dλ=

8πhcλ5

dλe

hcλkT

.

（3）

1

令x=

hc

，使u(λ,T)取极大的波长λm由下式确定：λkT

d x5 =0.dx ex 1

（4）

由式（4）易得

5 5e x=x.

（5）

这方程可以用数值方法或图解方法求解.图解方法如下：以x为横坐标，y为纵坐标，画出两条曲线

y=1 e x,

xy=,

5

如图所示.两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96.

精确的数

值解给出x=4.9651.所以使u(λ,T)为极大的λm满足

λmT=

hc4.9651k

157

=2.898×10 3m K.（6）

右方是常量，说明λm随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.

值得注意，式（6）确定的使u(λ,T)为极大的λm与式（8.4.11）给出的使

u(ω,T)为极大的ωm并不相同.原因是u(λ,T)是单位波长间隔的内能密度，u(ω,T)是单位频率间隔的内能密度.λm与ωm分别由

d x5 =0dx ex 1

（4）

和

d x3 =0dx ex 1

（7）

确定，其中

x=

ωhc

=.kTλkT

由这两个方程解得xm显然不同.

8.9按波长分布太阳辐射能的极大值在λ≈480nm处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度.

解:由上题式（6）知

λmT=2.898×10 3m K.

假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为

2.898×10 3

T=K=6000K. 9

480×10

8.10熵.

试根据热力学公式S=∫

CV

dT及光子气体的热容量求光子气体的T

解:式（8.4.10）给出光子气体的内能为

π2k4

U=VT4.33

15c

（1）

由此易得其定容热容量为

158

4π2k4 U

CV= VT3 =33

T V15c

（2）

根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有

C p

S=∫ VdT+ dV +S0,

T T V

（3）

积分沿任意一条积分路线进行.如果取积分路线为由（0，V）到（T，V）的直线，即有

4π2k4

S=

15c3 3

4π2k4V3

TdT=T,33

45c

2

∫

T

（4）

其中已取积分常量S0为零.

如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T，V）的直线，结果如何？8.11

试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的

能量，由此即得平衡辐射的通量密度Ju.计算6000K和1000K时Ju的值.

解:根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p到p+dp，动量方向在θ到θ+dθ, 到 +d 范围内，平衡辐射的光子数为

2p2sinθdpdθd

,

h3eβcp 1

（1）

其中已利用式（8.4.2）将动量为p的光子能量表示为cp，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.

以dA表示法线方向沿z轴的器壁的面积元.以dΓdAdt表示在dt时间内碰到dA面积上，动量大小在p到p+dp，方向在θ到θ+dθ, 到 +d 范围的光子数.它等于以dA为底，以ccosθdt为高，动量在dpdθd 范围内的光子数.因此单位时间（dt=1）内，碰到单位面积(dA=1)的器壁上（或穿过单位面积），动量在dpdθd 范围内的光子所携带的能量为

2p2sinθdpdθd

ccosθ cp.3βcp

he 1

（2）

对式（2）积分，p从0到+∞,θ从0到, 从0到2π，即得到辐射动量密度Ju为

π

2

159

π

2π2c2+∞p3dp

Ju=3∫βcp ∫2sinθcosθdθ ∫d

0h0e 10

2πc2+∞p3dp=3∫.h0eβcp 1

令x=βcp，上式可表示为

2πc2 1 Ju=3

h βc

44

∫

+∞

x3dx

ex 1

2πc2 kT π4=3 6 ,h c 90

或

π2k44Ju=T.

60c2 3

（3）

在6000K，有

Ju=7.14×107J m 2;

在1000K，有

Ju=0.55×105J m 2.

8.12

室温下某金属中自由电子气体的数密度n=6×1028m 3,某半导体中

导电电子的数密度为n=1028m 3，试验证这两种电子气体是否为简并气体.

解:根据§8.5，在eα>>1，即nλ3<<1的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在eα<<1，即nλ3>>1的情形下，气体形成强简并的费米气体.

h

nλ3=n ,

2πmkT

2

32

（1）

将T=300K,n=6×1028m 3代入，得

nλ3≈103>>1,

（2）

说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体.将T=300K,n=1020m 3代入，得

nλ3≈10 5<<1,

所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论.

160

金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.

8.13

银的导电电子数密度为5.9×1028m 3.试求0K时电子气体的费米能

量、费米速率和简并压.

解:根据式（8.5.6）和（8.5.8），0K下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度n.

式（8.5.6）给出

2

22

µ(0)=3πn)3.(2m

（1）

将m=9.1×10 31kg, =1.05×10 34J s,n=5.9×1028m 3代入，即得

µ(0)=0.876×10 18J=5.6eV.

（2）

费米速率υF等于

υF=

=1.4×106m s 1.（3）

式（8.5.8）给出0K下电子气体的压强为

2

p(0)=nµ(0)≈2.1×1010Pa.

5

（4）

8.14试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.

解:根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为

f=1,f=0,

p≤pF,p>pF,

（1）

其中pF是费米动量，即0K时电子的最大动量.据此，电子的平均动量为

8πV

3p=8πVh3

∫∫

pF

pF

14

pF3==pF.143

p2dppF

3

p3dp

（2）

因此电子的平均速率为

161

υ=

p3pF3==υF.m4m4

（3）

8.15试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为

1Γ=nυ,

4

其中n=

N

是电子的数密度，υ是平均速率.V

f=1,f=0,

υ≤υF,υ>υF,

解:绝对零度下电子速率分布为

（1）

式中υF是0K时电子的最大速率，即费米速率.单位体积中速率在dυdθd 间隔的电子数为

2m32

υsinθdυdθd 3h

(υ≤υF).

（2）

单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z轴的单位面积器壁上的碰撞数为

2m3

dΓ=3υcosθ υ2sinθdυdθd .

h

π2

（3）

将上式积分，υ从0到υF,θ从0到, 从0到2π，得0K时电子气体的碰壁数为

π

2π2m3υF3

2

Γ=3∫υdυ∫sinθcosθdθ∫d

00h0

2m3141=3 υF 2πh42

πm34=υ.3F

2h

（4）

但由式（2）知单位体积内的电子数n为

162