第八章玻色统计和费米统计

8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即

S=klnΩ.

解:对于理想费米系统，与分布{al}相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））

Ω=∏

l

ωl!

al!ωl al!

（1）

取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））

lnΩ=∑ ωllnωl allnal (ωl al)ln(ωl al) .

l

（2）

另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为

S=k lnΞ αlnΞ βlnΞ

α β =klnΞ+αN+βU

()

（3）

=k lnΞ+∑(α+βεl)al ,

l

其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））

lnΞ=∑ωlln1+e α βεl.

l

()

（4）

由费米分布

al=

ωl

eα+βεl+1

易得

147

1+e α βεl=

ωlωl al

（5）

和

α+βεl=ln

ωl al

.al

（6）

将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为

lnΞ=∑ωlln

l

ωl

ωl al

（7）

将式（6）和式（7）代入式（3），有

ωlω a

S=k∑ ωlln+allnll

ωl alal l

=k∑ ωllnωl allnal (ωl al)ln(ωl al) .

l

（8）

比较式（8）和式（2），知

S=klnΩ.

（9）

对于理想玻色系统，证明是类似的.

8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为

SB.E.=k∑ fslnfs (1+fs)ln(1+fs) ,

s

SF.D.= k∑ fslnfs+(1 fs)ln(1 fs) ,

s

其中fs为量子态s上的平均粒子数.证明，当fs<<1时，有

∑

s

表示对粒子的所有量子态求和.同时

SB.E.≈SF.D.≈SM.B.= k∑(fslnfs fs).

s

解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为

SF.D.=k∑ ωllnωl allnal (ωl al)ln(ωl al)

l

ωl alal

= k∑ (ωl al)ln+alln

ωωl l l

148

al

= k∑ωl 1

l ωl al

ln 1 ωl alal +ln , ωlωl

（1）

式中∑表示对粒子各能级求和.以fs=

l

al

表示在能量为εl的量子态s上的平ωl

均粒子数，并将对能级l求和改为对量子态s求和，注意到

∑ω~∑

ll

s

,

上式可改写为

SF.D.= k∑ fslnfs+(1 fs)ln(1 fs) .

s

（2）

由于fs≤1，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.

对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明

SF.D.= k∑ fslnfs (1+fs)ln(1+fs) .

s

（3）

对于玻色系统fs≥0，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.

在fs<<1的情形下，式（2）和式（3）中的

±(1 fs)ln(1 fs)≈±(1 fs)( fs)≈ fs

所以，在fs<<1的情形下，有

SB.E.≈SF.D.≈ k∑(fslnfs fs).

s

（4）

注意到∑fs=N，上式也可表示为

s

SB.E.≈SF.D.≈ k∑fslnfs+Nk.

s

（5）

上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.

8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为

3

22 311Nh U=NkT 1±5 2gV 2πmkT 2 2

（1）

（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利

149

用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）

p=

2U

,3V

（2）

可直接求得弱简并气体的压强为

3

22 11h ,p=nkT 1±5n g 2πmkT 2 2

（3）

式中n=

N

是粒子数密度.V

U CV=

T V

31=Nk 1 7

22 2

h n , 2πmkT

2

32

由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为

（4）

参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为

S=∫

CV

dT+S0(V).T

（5）

将式（4）代入，得弱简并气体的熵为

S=

311 h

NklnT±Nk7n +S0(V).2g 2πmkT

22

2

32

（6）

式中的函数S0(V)可通过下述条件确定：在

nλ3=

N h

<<1V 2πmkT

2

32

的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g），可确定S0(V)，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为

33

2

2 2πmkT 2 511 h

S=Nk lnng . +±7 2

h2g2πmkT 22

（7）

弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数lnΞ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱

150

简并条件作相应的近似.关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.

8.4

试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-

受因斯坦凝聚.

解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度Tc，气体的化学势将趋于-0.在T<Tc时将有宏观量级的粒子凝聚在ε=0的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚.临界温度Tc由条件

∫

确定.

+∞

D(ε)dεe

ε

kTc

=n

（1）

1

将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））

2πL2

D(ε)dε=2mdε

h

代入式（1），得

+∞2πL2

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