弹性力学(徐芝纶四版)-第3章
时间:2025-04-04
时间:2025-04-04
弹性力学
第三章
平面问题的直角坐标解答力学问题。
要点 —— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性
弹性力学
主要内容§3-1 多项式解答
§3-2 位移分量的求出§3-3 简支梁受均布载荷
§3-4 楔形体受重力和液体压力§3-5 级数式解答
§3-6 简支梁受任意横向载荷
弹性力学
§3-1 多项式解答适用性:由一些直线边界构成的弹性体。 目的: 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ,能解决什么样的 力学问题。 ——逆解法
1. 一次多项式 (1) ( x, y ) ax by c
其中: a、b、c 为待定系数。
4 4 4 4 2 2 2 4 0 (2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程: 4 x x y y 显然φ(x,y) 满足双调和方程,因而可作为应力函数。(3) 对应的应力分量:
2 x 2 Xx 0 Xx Xx y
2 xy 0 x y
2 y 2 Yy 0 Yy Yy x y xy 0
若体力:X = Y =0,则有: x
弹性力学
结论1:
(1) 一次多项式对应于无体力和无应力状态; (2)在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。
2. 二次多项式(1)
ax 2 bxy cy 2
其中: a、b、c 为待定系数。
(2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程,显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
4 0
(可作为应力函数 )
(3) 由式(2-26)计算应力分量: (假定:X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)
x 2 2c y2
2a
2 b y 2 2a xy x y x2
2c
2c x y 2a
结论2:二次多项式对应于均匀应力分布。 0
xy by
x 0 y2
2
弹性力学
例: 试求图示板的应力函数。 0
0x
x
y ( x, y )
02
y2
y
0 ( x, y) 0 xy
3. 三次多项式(1)
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
(2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程,显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
04
(可作为应力函数 )
(3) 由式(2-26)计算应力分量: (假定:X =Y = 0)
2 2 2 x 2 2cx 6dy y 2 2by 6ax xy 2bx 2cy y x y x
结论3:三次多项式对应于线性应力分布。
弹性力学
讨论: 取 dy 3 , ( X Y 0) 可算得:
x 6dy y 0 xy 0图示梁对应的边界条件:
l
l
M min 3dh
h 2
h y : 2
y 0, xy 01
M x
x l : x 6dy, xy 0可见: 常数 d 与弯矩 M 的关系: 由梁端部的边界条件: (1)
max 3dh
y
dy 3 —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
h 2
h 2 h 2
x dy
0
h 2 h 2
6dy dy 0
(2)
h 2 h 2
x y dy M12 M x 3 y h
h 2 h 2
6dy dy M2
M x 3 y (h / 12)
2M d 3 h M (或d 3 ) h 2
M x y I
可见:此结果与材力中结果相同,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
弹性力学
说明:(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布,且中心处为零,结果才 是精确的。 (2) 若按其它形式分布,如:则此结果不精确,有误差; 但按圣维南原理,仅在两端误差较 大,离端部较远处误差较小。
l
l
M min 3dh
h 2
M x
1
max 3dh
y
h 2
x 6dy y 0 xy 0M x y I
(3) 当 l 远大于 h 时,误差较小;反之误差较大。
4. 四次多项式(1)
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4 4 2 8c 4 x y 4 24e 4 y
(2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
4 24a 4 x得
代入:
4
0
24a 8c 24e 0
3a c 3e 0
弹性力学
可见,对于函数:
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 43a c 3e 0 2 x 2 2cx 2 6dxy 12ey 2 y 2 y 2 2cy 2 6bxy 12ax 2 x 2 3bx 2 4cxy 3dy 2 xy x y
其待定系数,须满足下述关系才能作为应函数: (3) 应力分量:
—— 应力分量为 x、y 的二次函数。
(4) 特例:
ax ey4
4
(须满足:a + e =0)
y 12ax 2 x 12ey 2 xy 0
弹性力学
总结: (多项式应力函数 的性质)(1) 多项式次数 n < 4 时,则系数可以任意选取,总可满足 多项式次数
0 。 n ≥ 4 时,则系数须满足一定条件,才能满足 4 0。4
多项式次数 n 越高,则系数间需满足的条件越多。 (2) 一次多项式,对应于无体力和无应力状态;任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式,对应力无影响。 (3) 二次多项式,对应均匀应力状态,即全部应力为常量;三次多项式, 对应于线性分布应力。 (4) 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法(只能解决简单直 线应力边界问题)。
问题:按应力求解平面问题,其基本未知量为:
如何由
x , y , xy
求出形变分量、位移分量?
x
, y , xy
,本节说明
弹性力学
§3-2 位移分量的求出 以纯弯曲梁为例,说明如何由 , , 求出形变分量、位移分量? x y xy1. 形变分量与位移分量(1)形变分量由前节可知,其应力分量为:
Ml
M y
x1
h
y 0 xy 0
M y My x I h3 / 12
(a)
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