弹性力学

第三章

平面问题的直角坐标解答力学问题。

要点 —— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性

弹性力学

主要内容§3-1 多项式解答

§3-2 位移分量的求出§3-3 简支梁受均布载荷

§3-4 楔形体受重力和液体压力§3-5 级数式解答

§3-6 简支梁受任意横向载荷

弹性力学

§3-1 多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ,能解决什么样的 力学问题。 ——逆解法

1. 一次多项式 (1) ( x, y ) ax by c

其中： a、b、c 为待定系数。

4 4 4 4 2 2 2 4 0 (2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程： 4 x x y y 显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。(3) 对应的应力分量：

2 x 2 Xx 0 Xx Xx y

2 xy 0 x y

2 y 2 Yy 0 Yy Yy x y xy 0

若体力：X = Y =0,则有： x

弹性力学

结论1:

(1) 一次多项式对应于无体力和无应力状态； (2)在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。

2. 二次多项式(1)

ax 2 bxy cy 2

其中： a、b、c 为待定系数。

(2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有

4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y

4 0

(可作为应力函数 )

(3) 由式(2-26)计算应力分量： (假定：X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)

x 2 2c y2

2a

2 b y 2 2a xy x y x2

2c

2c x y 2a

结论2:二次多项式对应于均匀应力分布。 0

xy by

x 0 y2

2

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例： 试求图示板的应力函数。 0

0x

x

y ( x, y )

02

y2

y

0 ( x, y) 0 xy

3. 三次多项式(1)

ax3 bx 2 y cxy2 dy 3

其中: a、b、c 、d 为待定系数。

(2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有

4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y

04

(可作为应力函数 )

(3) 由式(2-26)计算应力分量： (假定：X =Y = 0)

2 2 2 x 2 2cx 6dy y 2 2by 6ax xy 2bx 2cy y x y x

结论3:三次多项式对应于线性应力分布。

弹性力学

讨论： 取 dy 3 , ( X Y 0) 可算得：

x 6dy y 0 xy 0图示梁对应的边界条件：

l

l

M min 3dh

h 2

h y : 2

y 0, xy 01

M x

x l : x 6dy, xy 0可见： 常数 d 与弯矩 M 的关系： 由梁端部的边界条件： (1)

max 3dh

y

dy 3 —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。

h 2

h 2 h 2

x dy

0

h 2 h 2

6dy dy 0

(2)

h 2 h 2

x y dy M12 M x 3 y h

h 2 h 2

6dy dy M2

M x 3 y (h / 12)

2M d 3 h M (或d 3 ) h 2

M x y I

可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。

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说明：(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。 (2) 若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差； 但按圣维南原理，仅在两端误差较 大，离端部较远处误差较小。

l

l

M min 3dh

h 2

M x

1

max 3dh

y

h 2

x 6dy y 0 xy 0M x y I

(3) 当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。

4. 四次多项式(1)

ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4 4 2 8c 4 x y 4 24e 4 y

(2) 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程

4 24a 4 x得

代入：

4

0

24a 8c 24e 0

3a c 3e 0

弹性力学

可见，对于函数：

ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 43a c 3e 0 2 x 2 2cx 2 6dxy 12ey 2 y 2 y 2 2cy 2 6bxy 12ax 2 x 2 3bx 2 4cxy 3dy 2 xy x y

其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数： (3) 应力分量：

—— 应力分量为 x、y 的二次函数。

(4) 特例：

ax ey4

4

(须满足：a + e =0)

y 12ax 2 x 12ey 2 xy 0

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总结： (多项式应力函数 的性质)(1) 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 多项式次数

0 。 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。4

多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 (2) 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 (3) 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 (4) 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法(只能解决简单直 线应力边界问题)。

问题：按应力求解平面问题，其基本未知量为：

如何由

x , y , xy

求出形变分量、位移分量？

x

, y , xy

,本节说明

弹性力学

§3-2 位移分量的求出 以纯弯曲梁为例，说明如何由 , , 求出形变分量、位移分量？ x y xy1. 形变分量与位移分量(1)形变分量由前节可知，其应力分量为：

Ml

M y

x1

h

y 0 xy 0

M y My x I h3 / 12

(a)

1 My My xy 0 x y E I E I(b)

(2)位移分量将式(b)代入几何方程得：

平面应力情况下的物理方程：

x 1 ( x

y)

E y 1 ( y x) E xy xy G

将式(a)代入得：

u 1 My x x E I v My y y E I xy u v 0 y x

(c)

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(2)位移分量

u 1 My x x E I v My y y E I u v xy 0 y x

整理得：

M x f 2 ( x) f1 ( y ) EI

(仅为 x 的函数) (仅为 y 的函数) 要使上式成立，须有 (c)

f1 ( y) M x f 2 ( x) EI(e) 式中：ω为常数。 积分上式，得

将式(c)前两式积分，得：

M u xy f1 ( y ) (d) EI M 2 v y f 2 ( x) 2 EI 式中： f1 ( y), f 2 ( x) 为待定函数。将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：

f1 ( y) y u0M 2 f 2 ( x) x x v0 EI将上式代入式(d),得

M x f1 ( y ) f 2 ( x) 0 EI

M u xy y u0 (f) EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI

弹性力学

(2)位移分量

M u xy y u0 (f) EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI讨论：

Ml

M y

x1

h

式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定。

M u M 当 x = x0 =常数 u x0 常数 x (1) y x x0 EI y EI u —— u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。 y u M x0 常数 说明： 同一截面上的各铅垂 |x x y x x0 EI 线段转角相同。0

横截面保持平面

—— 材力中“平面保持平面”的假设成立。

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(2) 将下式中的第二式对 x 求二阶导数：

M u xy y u0 EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI 1 2v M 2 常数 说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲 x EI率相同。即

2v M 2 x EI 1

—— 材料力学中挠曲线微分方程

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2. 位移边界条件的利用(1)两端简支其边界条件：

u x 0 0 v x 0 0 v x l 0y 0 y 0y 0

M u xy y u0 EI (f) M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI

将其代入(f)式，有

u0 0

v0 0Ml 2 EI梁的挠曲线方程：

Ml 2 l v0 0 2 EI将其代回(f)式，有

M M 2 v (l x) x y 2 EI 2 EI

M l u (x ) y EI 2

v y 0(3-3)

M (l x) x 2 EI

—— 与材力中结果相同

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(2)悬臂梁边界条件

u x l 0 v x l 0

h y 2

h 2

由式(f)可知，此边界条件无法满足。 边界条件改写为：

M u xy y u0 EI (f) M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EIh/2 h/2

u x l 0, v x l 0y 0 y 0

v x

x l y 0

0

(中点不动)代入式(f),有

(轴线在端部不转动)

M M 2 l 0 l l v0 0 u0 0 EI 2 EI可求得：

u0 0

Ml 2 v0 2 EI

M u (l x) y EI

Ml EI M M 2 2 v (l x) y 2 EI 2 EI

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M u (l x) y EI

M M 2 2 v (l x) y 2 EI 2 EI

(3-4)

h/2 h/2

挠曲线方程：

M v | y 0 (l x) 2 与材料力学中结果相同 2 EI说明： (1) 求位移的过程：(a)将应力分量代入物理方程

xy 1 1 x ( x y) y ( y x) xy E G E(b)再将应变分量代入几何方程

u x x

v y y

xy

u v y x

(c)再利用位移边界条件，确定常数。