22量子力学基础习题思考题

时间:2025-03-07

习题

22-1.计算下列客体具有10MeV动能时的物质波波长,(1)电子;(2)质子。解:(1)电子高速运动,设电子的总能量可写为:E=EK+m0c2

24E2=c2p2+

m0c可得

=

=

p=用相对论公式,

λ=

h=

8 34

=

=1.2×10 13m

(2

)对于质子,利用德布罗意波的计算公式即可得出:

hλ==

34 15

==9.1×10m22-2.计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长,已知加速电压为(1)用非相对论公式;(2)用相对论公式。25.0kV,解:(1)用非相对论公式:

hλ==

p

hh

==2mE2meU

6.63×10 34

2×9.1×10 31×1.6×10 19×25×103

=7.8×10 12m

(2)用相对论公式:

4

E2=p2c2+m2c0

E m0c2=Ek=eUλ=

h

=p

hh

==7.7×10 12m

2

2mE2m0c2eU+(eU)

22-3.一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距d

=7.32×10 2nm,中子的动能

Ek=4.20eV,求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.

解:先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长:

λ=h=p

= 34

=1.4×10 11m

再利用晶体衍射的公式,可得出:2dsin =kλk=0,1,2…

11

kλ1.4×10sin ===0.095, =5.48

11

2d2×7.32×10

22-4.以速度v=6×103 m/s运动的电子射入场强为E=5V/cm的匀强电场中加速,为使电子波长λ=1A,电子在此场中应该飞行多长的距离?

h解:λ== 34

==1×10 10mU=Ed

,得出d=30.2cm。

可得:U=150.9V,所以

22-5.设电子的位置不确定度为0.1A,计算它的动量的不确定度;若电子的能量约为

1keV,计算电子能量的不确定度。

解:由测不准关系:

1.05×10 34

p===5.25×10 24

10

2 2×0.1×10cE

可推出:

由波长关系式:λ=h

λ=h

c EE

λEE2

E===1.24×10 15J

22-6.氢原子的吸收谱线λ=4340.5A的谱线宽度为10上的平均寿命。

2

A,计算原子处在被激发态

hc,由于激发能级有一定的宽度ΔE,造成谱线也有一定宽度Δλ,两

hc者之间的关系为: E= λ2λ

解:能量E=hν=

由测不准关系, Ei t≥ /2,平均寿命τ=Δt,则

λ2λ2(4340.5×10 10)2τ= t== ===5×10 11s 2 108

22-7.若红宝石发出中心波长λ=6.3×10 7m的短脉冲信号,时距为1ns(10 9s),计算该信号的波长宽度 λ。

解:光波列长度与原子发光寿命有如下关系:

x=c t

λ2λ2

x==≈

xλ2(6.3×10 7)2

λ===1.323×10 3nm8 9

22-8.设粒子作圆周运动,试证其不确定性关系可以表示为 L θ≥h,式中 L为粒

子角动量的不确定度, θ为粒子角位置的不确定度。

证明:当粒子做圆周运动时,半径为r,角动量为:L=rmv=rp而做圆周运动时: x=r θ

利用: P x≥h代入,可得到: L θ≥h。

其不确定度 L=r P

22-9.计算一维无限深势阱中基态粒子处在x=0到x=L/3区间的几率。设粒子的势能分布函数为:

U(x)=0,0<x<L

U(x)=∞,x<0和x>L

解:根据一维无限深势阱的态函数的计算,当粒子被限定在0<x<l之间运动时,其定态归一

2nπ

sinx,0<x<L Ψn(x)=

化的波函数为: ll

Ψ(x)=0,x<0和x>L n

概率密度为:Pn(x)=

22nπsinx,0<x<Lll

l

3

粒子处在x=0到x=L/3区间的几率:Pn(x)=如果是基态,n=1,则Pn(x)=

22nπ112nπsinx= sinll32nπ3

l

3

22π112πsinx= sin=0.19522-10.一个质子放在一维无限深阱中,阱宽L=10 14m。(1)质子的零点能量有多大?

(2)由n=2态跃迁到n=1态时,质子放出多大能量的光子?

h22

解:(1)由一维无限深势阱粒子的能级表达式:En=n

8mah2

n=1时为零点能量:En==3.29×10 13J。

8ma

(2)由n=2态跃迁到n=1态时,质子放出光子的能量为:

h2

E=E2 E1=(4 1=9.87×10 13J。

8ma

22-11.对应于氢原子中电子轨道运动,试计算n=3时氢原子可能具有的轨道角动量。解:当n=3,l的可能取值为:0,1,2。而轨道角动量L=

l(l+1所以L的取值为:0,2

22-12.氢原子处于n=2,l=1的激发态时,原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向?并计算各种可能取向的角动量与z轴的夹角?解:l=1,所以轨道角动量:L=

l(l+1=2π

4

3π4

m=0,±1三个取向。夹角分别为:

Lz=0,θ=

π

2

Lz=θ=Lz=,θ=

思考题

22-1.证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。证明:分别看这两个内容是什么:

2εh

玻尔理论中氢原于中的电子轨道:rn=n2r0=n202

πme

电子德布罗意波长:

1me4

先求其能量:En=2

n8ε02h2

再代入德布罗意波长求解式子中:λ=可见:rn=nλ

ε0h2h

=n

πme22mE

是它的整数倍。

22-2.为什么说电子既不是经典意义的波,也不是经典意义的粒子?

答:因为单个的电子是不具有波动的性质的,所以它不是经典意义的波,同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性,而电子却具有这个性质,所以电子也不是经典意义的粒子。

22-3.图中所示为电子波干涉实验示意图,S为电子束发射源,发射 …… 此处隐藏:1250字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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