应用多元统计分析课后答案_朱建平版
时间：2025-04-27
第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X1,X2,联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X (X1,X2,概率分布，其概率密度函数的维数小于p。 2.2设二维随机向量(X1
解：设(X1
Xp) 的
Xp) 的子向量的
X2) 服从二元正态分布，写出其联合分布和各边缘分布。
12 12 2 ，协方差矩阵为 ，则其联2 212
X2) 的均值向量为μ 1
合分布密度函数为
12
f(x) 2 212
2.3已知随机向量(X1
2
2
1
1/2
12 1 112
exp (x μ) (x μ) 。 2
2 21 2
X2) 的联合密度函数为
f(x1,x2)
2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]
22
(b a)(d c)
其中a x1 b，c x2 d。求
（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。
（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；
fx1(x1)
d
c
2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]
dx 22
(b a)(d c)
d
2(d c)(x1 a)x2
(b a)2(d c)2
2(d c)(x1 a)x2
(b a)2(d c)2
cd
d
c
2[(b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]
dx2 22
(b a)(d c)2[(b a)t 2(x1 a)t]
dt
(b a)2(d c)2
c
d c
2(d c)(x1 a)x2
(b a)2(d c)2
所以
d
c
[(b a)t2 2(x1 a)t2]
(b a)2(d c)2
d c
1 b a
b a b a 。
由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为
212
2
1
同理，由于X2服从均匀分布fx2(x2) d c
0
x1 c,d 其它
，则均值为
d c
，2
d c 方差为
12
2
。
（2）解：随机变量X1和X2的协方差和相关系数；
cov(x1,x2)
d
b
c
a b d c 2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]
x x 1dx21 2 22 a 22(b a)(d c)
(c d)(b a)
36
cov(x1,x2)
x x
1
2
1 3
（3）解：判断X1和X2是否相互独立。
X1和X2由于f(x1,x2) fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。
2.4设X (X1,X2,互独立的随机变量。
解： 因为X (X1,X2,
p
Xp) 服从正态分布，已知其协方差矩阵 为对角阵，证明其分量是相
Xp) 的密度函数为
1/2 1 1
f(x1,...,xp) Σexp (x μ)Σ(x μ) 2 12
2
2
又由于Σ
2 p
2
Σ 12 22 p
1
2 1 Σ 1
1
2 2
1 2 p
则f(x1,...,x
p)
22 Σ 1 2
p
1 2 1 1 2 1/2
pexp (x μ) Σ 1
2
1
2
2
(x
μ)
1 2 p
1 2p
p
p
1
222 1(xp p) 1(x1 1)1(x2 3)
exp ... 222
2 2 2 12p
(xi i)2 f(x1)...f(xp) 2
2 i i 1
则其分量是相互独立。
2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为
Xin μ
i 1n
n
(X )(X ) Σii
i 1
35650.00
12.33 μ
17325.00 152.50
201588000.0038900.0083722500.00
13.06716710.00 38900.00Σ
83722500.0016710.0036573750.00 -736800.00-35.800-199875.00 -736800.00
-35.80
-199875.00
16695.10
0
1
1
11 I )X注：利用 p 1 X 1n, S X (In 1n1 其中 nn nn
0
在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。
将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。
图2.1 Descriptives对话框
2.
单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话
框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。
图2.2 Options子对话框
3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即
样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表2.1 样本均值向量
在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开
Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。
2.
图2.3 Bivariate Correlations对话框
单击Options按钮，打开Options子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。
3.
图2.4 Options子对话框
单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给
出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）
2.6 无偏性；渐近无偏性、有效性和一致性；
2.7 设总体服从正态分布，X~Np(μ,Σ)，有样本X1,X2,...,Xn。由于是相互独立的正态分布随机向量之和，所以也服从正态分布。又
n
n n
E() E Xin E Xi μn μ
i 1 i 1 i 1
1nΣ n 1n
D() D Xin 2 D Xi 2 Σ
ni 1n i 1 ni 1
所以~Np(μ,Σ)。
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