应用多元统计分析课后答案_朱建平版

第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X1,X2,联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X (X1,X2,概率分布，其概率密度函数的维数小于p。 2.2设二维随机向量(X1

解：设(X1

Xp) 的

Xp) 的子向量的

X2) 服从二元正态分布，写出其联合分布和各边缘分布。

12 12 2 ，协方差矩阵为 ，则其联2 212

X2) 的均值向量为μ 1

合分布密度函数为

12

f(x) 2 212

2.3已知随机向量(X1

2

2

1

1/2

12 1 112

exp (x μ) (x μ) 。 2

2 21 2

X2) 的联合密度函数为

f(x1,x2)

2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

22

(b a)(d c)

其中a x1 b，c x2 d。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。

（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

fx1(x1)

d

c

2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

dx 22

(b a)(d c)

d

2(d c)(x1 a)x2

(b a)2(d c)2

2(d c)(x1 a)x2

(b a)2(d c)2

cd

d

c

2[(b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

dx2 22

(b a)(d c)2[(b a)t 2(x1 a)t]

dt

(b a)2(d c)2

c

d c

2(d c)(x1 a)x2

(b a)2(d c)2

所以

d

c

[(b a)t2 2(x1 a)t2]

(b a)2(d c)2

d c

1 b a

b a b a 。

由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为

212

2

1

同理，由于X2服从均匀分布fx2(x2) d c

0

x1 c,d 其它

，则均值为

d c

，2

d c 方差为

12

2

。

（2）解：随机变量X1和X2的协方差和相关系数；

cov(x1,x2)

d

b

c

a b d c 2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

x x 1dx21 2 22 a 22(b a)(d c)

(c d)(b a)

36

cov(x1,x2)

x x

1

2

1 3

（3）解：判断X1和X2是否相互独立。

X1和X2由于f(x1,x2) fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。

2.4设X (X1,X2,互独立的随机变量。

解： 因为X (X1,X2,

p

Xp) 服从正态分布，已知其协方差矩阵 为对角阵，证明其分量是相

Xp) 的密度函数为

1/2 1 1

f(x1,...,xp) Σexp (x μ)Σ(x μ) 2 12

2

2

又由于Σ

2 p

2

Σ 12 22 p

1

2 1 Σ 1

1

2 2

1 2 p

则f(x1,...,x

p)

22 Σ 1 2

p

1 2 1 1 2 1/2

pexp (x μ) Σ 1

2

1

2

2

(x

μ)

1 2 p

1 2p

p

p

1

222 1(xp p) 1(x1 1)1(x2 3)

exp ... 222

2 2 2 12p

(xi i)2 f(x1)...f(xp) 2

2 i i 1

则其分量是相互独立。

2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为

Xin μ

i 1n

n

(X )(X ) Σii

i 1

35650.00

12.33 μ

17325.00 152.50

201588000.0038900.0083722500.00

13.06716710.00 38900.00Σ

83722500.0016710.0036573750.00 -736800.00-35.800-199875.00 -736800.00

-35.80

-199875.00

16695.10

0

1

1

11 I )X注：利用 p 1 X 1n, S X (In 1n1 其中 nn nn

0

在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：

1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。

将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。

图2.1 Descriptives对话框

2.

单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话

框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。

图2.2 Options子对话框

3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即

样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。

表2.1 样本均值向量

在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开

Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。

2.

图2.3 Bivariate Correlations对话框

单击Options按钮，打开Options子对话框。选择

Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。

3.

图2.4 Options子对话框

单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给

出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）

2.6 无偏性；渐近无偏性、有效性和一致性；

2.7 设总体服从正态分布，X~Np(μ,Σ)，有样本X1,X2,...,Xn。由于是相互独立的正态分布随机向量之和，所以也服从正态分布。又

n

n n

E() E Xin E Xi μn μ

i 1 i 1 i 1

1nΣ n 1n

D() D Xin 2 D Xi 2 Σ

ni 1n i 1 ni 1

所以~Np(μ,Σ)。

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