2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
发布时间:2024-11-08
发布时间:2024-11-08
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
高等数学部分
第一讲 函数、极限、连续
一、极限
(一)极限基本概念 1、极限的定义
(1)数列极限:设{an}为一个数列,A为常数,若对任意 0,总存在N( ) 0,当
n N( )时,有|an A| 成立,则称A为数列{an}的极限,记liman A或
n
an A(n )。
(2)函数当自变量趋于无穷时的极限:设f(x)为一个函数,A为一个常数,若对任意
0,存在X 0,当|x| X时,有|f(x) A| 成立,称f(x)当x 时以A为
极限,记为limf(x) A或f(x) A(x )。
x
(3)函数当自变量趋于有限值的极限:设f(x)为一个函数,A为一个常数,若对任意
0,存在 0,当0 |x a| 时,有|f(x) A| 成立,称f(x)当x a时以
A为极限,记为limf(x) A或f(x) A(x a)。
x a
(4)左右极限:f(a 0) limf(x),f(a 0) limf(x),分别称f(a 0),f(a 0)
x a 0
x a 0
defdef
为函数f(x)在x a处的左右极限,limf(x)存在 f(a 0),f(a 0)都存在且相等。
x a
问题:
(1)若对任意的 0,总存在N 0,当n N时,有|an A| 2 ,数列{an}是否以常数A为极限?
(2)若数列{an}有一个子列以常数A为极限,数列{an}是否以常数A为极限? (3)若数列{an}的奇子列与偶子列都存在极限,数列{an}是否有极限?若其奇子列和偶子列极限存在且相等,数列{an}的极限是否存在?
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
2、无穷小
(1)无穷小的定义:以零为极限的函数称为无穷小。 (2)无穷小的性质
1)有限个无穷小之和与积还是无穷小;
2)有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况,常数与无穷小之积还是无穷小; 3)极限与无穷小的关系: (3)无穷小的层次关系 1)定义: 2)性质:
设 ~ , ~ ,且lim
存在,则lim lim;
~ 的充分必要条件是 o( )。
(4)当x 0时常见的等价无穷小:
1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex 1~ln(1 x);
x2a
,1 cosax~x2; 2)1 cosx~22
3)(1 x) 1~ax。
(5)无穷大
1)定义:
2)无穷大与无穷小的关系。 问题:
(1)无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小?
(2)设 , , 都是无穷小,且 o( ), o( ),是否一定有 ~ ?
(3)有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小?举例说明。 (二)极限的性质 1、极限的基本性质
(1)唯一性:数列或函数极限存在必是唯一的。 (2)有界性
1)若数列极限存在,则该数列一定有界,反之不对。 2)函数极限的局部有界性: (3)保号性
1)若函数的极限大于(或小于)零,则函数在该点的去心邻域内也大于(或小于)零; 2)若函数是非负(或非正)的,且函数的极限存在,则极限也是非负(或非正)。 (4)列与子列极限极限的关系:
a
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
2、极限的存在性定理与重要极限 定理1 单调有界的数列必有极限。 定理2 夹逼定理(数列及函数): 重要极限:
x
sinxa 1
1; (2)lim(1 ) e; (3)lim lna。 (1)lim
x 0 0x 0xx
1
3、极限运算性质 (1)四则运算性质
(2)复合函数极限运算性质 注解: 问题:
(1)若{an}有界,liman是否一定存在?
n
(2)若liman A,当m n时,是否一定有|am A| |an A|?举例说明。
n
(3)若lim[f(x) g(x)]存在,limf(x)及limg(x)是否存在?若lim[f(x) g(x)]及
limg(x)存在,是否一定有limf(x)存在?
(4)若f(x) 0( 0),且limf(x) A,是否一定有A 0( 0)?举例说明。
二、连续与间断
(一)基本概念 1、函数连续的定义
(1)函数在一点连续的定义及等价定义 (2)函数在闭区间上连续的定义 2、间断及其间断点的分类 (1)第一类间断点: (2)第二类间断点。
(二)闭区间上连续函数的性质 1、最值定理 2、有界定理 3、零点定理 4、介值定理
(1)最值型介值定理: (2)端点型介值定理:
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
注解:
(1)初等函数在其定义域内连续;
(2)函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。 问题:
(1)设f(x),g(x)都在x a处间断,则f(x) g(x),f(x) g(x),
f(x)2
,f(x)是否一定g(x)
在x a处间断?
(2)若函数在一点连续,函数是否在该点的邻域内也连续?举例说明。
例题部分
一、填空题
ex 1
1、lim ______。
x 0xln(1 2x)
2、设2 x2 2~axb(x 0),则a ___,b ___。
2
sinx tanx
______。
x 0x2arcsinx
ln[1 f(x)]f(x)
2lim ______。 4、设lim,则22x 0x 0xx
3、lim
f(x) bef(x) ea A,则lim ______。 5、设lim
x ax ax ax a
a 0,b 0,c 0)。 6、lim(a b c) ______(
n
nnn
1
n
x2nnn
x 0)。 7、lim[1 x ()] ______(
n 2
8、lim(
x 0
1
11
) ______。 x2xtanx
sin2x e2ax 1
,x 0
9、设f(x) 在点x 0处连续,则a ______。 x
a,x 0
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
二、解答题
1、判别函数f(x) ln(x x2 1)的奇偶性,并求其反函数。 2、求下列极限:
(2x 1)2000(3x 2)10ln(x2 3x 1)
(1)lim。 (2)lim。
x x (5x 2)2010ln(x10 1)
xxxax bxx
(3)limcoscos2 cosn(x 0)。 (4)lim()(a 0,b 0)。
x 0x 02222
1
1x2
(5)lim(cos)。 (6)lim(2sinx cosx)x。
x x 0x
1
ln(ex x2) x2
(7)lim。 (8)limsinn 1 。 ______
n x 0ln(3x2 e3x) 3x
1
1 1121 cosx
1 sinx。 (9)lim ; (10)limx 0n 1 33 5(2n 1)(2n 1)
(11)lim
tanx sinx 1 tanx
。 ; (12)limx 01 sinxx 0x(1 cosx)
1
x3
3、证明数列,3 3, ,3 3 3极限存在,并求其极限。 4、设x1 1,xn 1 xn 0,证明数列{xn}收敛,并求limxn。
n
5、设a1,a2, ,an为常数,f(x) a1ln1( x) a2ln1( 2x) anln1( nx)。且
|f(x)| |x|,证明:|a1 2a2 nan| 1。
6、求极限lim(
n
12n
)。 n2 1n2 2n2 n
7、设f(x) C[a,b],xi [a,b](1 i n),ki 0(1 i n)且k1 k2 kn 1,证明:存在 [a,b],使得f( ) k1f(x1) knf(xn)。
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
第二讲 导数与微分
一、导数的基本概念
设y f(x)在x a的邻域内有定义, y f(a x) f(a),若lim
y
存在,则
x 0 x
称函数y f(x)在点x a可导,极限称为函数y f(x)在x a处的导数,记为f (a)。 注解:
il(1)若m
y y
(a),il存在,称此极限为函数f(x)在x a处的右导数,记为f 若m
x 0 x x 0 x
(a),函数f(x)在x a处可导存在,称此极限为函数f(x)在x a处的左导数,记为f (a)与f (a)都存在且相等。 的充分必要条件是f
(2)导数的等价定义
f (a) lim
yf(x) f(a)
,f (a) lim。
x 0 xx ax a
注解:导数的几何意义是:函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。
问题:
(1)设f (a)存在,问lim
h 0
f(a 3h) f(a 2h)
是否存在?若存在求之,不存在举反例
h
说明。 (2)设lim
h 0
f(a 2h) f(a h)
存在,问f (a)是否存在?若存在证明之,若不存在举
h
反例说明。 (3)设lim
h 0
f(1 cosh) f(0)
存在,f (0)是否存在?说明理由。 2
ln(1 h)
1
f(a ) f(a)
n (a)是否存在?说明理由。 (4)设lim存在,f
n 1/n
(5)设f(x)在x a处可导,问f (x)是否在x a处连续? (6)f(x)在x a处可导,是否有f(x)在x a的邻域内连续? (7)是否存在只有一个可导点的函数?
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
二、求导工具
(一)求导基本公式
1、(C) 0(常数函数导数公式); 2、(xa) axa 1,特殊情形(x)
11
,() 2(幂函数导数公式); xx2x
1
3、(ax) axlna,特殊情形(ex) ex(指数函数导数公式); 4、(logax)
11
,特殊情形(lnx) (对数函数导数公式); xlnax
5、(三角函数导数公式):
1)(sinx) cosx; 2)(cosx) sinx; 3)(tanx) sec2x; 4)(cotx) cscx; 5)(secx) secxtanx; 6)(cscx) cscxcotx; 7)(sinx) sin2x; 8)(cosx) sin2x; 9)(sinxcosx) cos2x。 6、(反三角函数导数公式): 1)(arcsinx)
2
2
2
1 x
2
; 2)(arccosx)
1 x
2
;
3)(arctanx) 7、补充公式: 1)(sinx)
x
(n)
11
(arccotx) ; 4)。
1 x21 x2
n n (n)
sin x ; 2)(cosx) cos x ;
22
x
3)[ef(x)] e[f(x) f (x)]。 (二)求导法则
1、四则求导法则 (1)(u v) u v ;
(2)(uv) u v uv ,(ku) ku ;
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
(3)()
uvu v uv
; 2
v
0(n)1(n 1)n
(4)(uv)(n) Cnuv Cnuv Cnuv(n)。
2、复合函数求导法则
设y f(u),u (x)皆可导,则y f[ (x)]可导,且3、反函数的导数
设y f(x)与x g(y)互为可导的反函数,且g (y) 0,则f (x) 注解:
(1)原函数与其反函数的导数之间为倒数关系; (2)二阶导数之间没有这种关系。
dydydu f (u) (x)。 dxdudx
1
。 g (y)
三、可微与微分
1、可微的定义
2、连续、可导与可微的关系 3、一阶微分形式的不变性 4、求导类型
(1)显函数的导数; (2)参数方程的导数; (3)隐函数的导数;
(4)变积分限的函数的导数; (5)分段函数的导数; (6)高阶导数。
例题部分
1、设f (x0)存在, (1)求lim
h 0
f(x0 ah) f(x0)f(x0 ah) f(x0 bh)
(ab 0)。 ; (2)lim
h 0hh
x 2
2、设f(x)在x 2处连续,且lim
f(x)
1,求f (2)。 2
x 4
3、设对任意的x,y ( , ),有f(x y) f(x)f(y),且f (0) 1,证明f(x)处处可导。
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
4、设y f(x)与y ln(1 2x)在坐标原点处相切,求limnf()。
n
1
n
1f(a )
)n。 5、设f(x)在x a处可导,且f(a) 0,求lim(
n f(a)
6、求下列函数的导数:
(1)y eln(1 2x) tan(1 e) ln ; (2)y x(3)设xy yx,求
x
2
2x
2x
sin2x e
2
sin
1
x
;
dydy; (4)tan(x y) 3x2y 2x 5,求; dxdx
2
x 1 td2ydyxy
(5)设e tan(xy) y,求; (6)设 ,求; 2
y arctantdxdxx 0
x t ln(1 t)d2y
(7)设 ,求。 232
dx y t t
1 2
xsin sinx,x 0
7、(1)设f(x) ,讨论函数f(x)在x 0处的连续性和可导性。 x
ln(1 x),x 0
x sinx 2ae,x 0
(2)设f(x) 在x 0处可导,求常数a,b。 3
9arctanx 2b(x 1),x 0
g(x) sinx 1
,x 0
(3)设f(x) ,其中g(0) 1,g (0) g (0) 2,且f(x)在x
ax b,x 0
x 0处可导,求a,b。
8、(1)设f(x) ln(3 2x),求f(3)设f(x)
(n)
(x); (2)设f(x)
1(n)
,求f(x); 2
x 5x 6
x 3(n)x(n)
,求f(x); (4)设f(x) esinx,求f(x)。 2
x 2x 8
(101)
(5)设f(x) (x 1)(x 2)(x 3) (x 100),求f (1)及f
(x)。
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
第三讲 一元函数微分学的应用
一、 中值定理
1、(罗尔定理)设f(x) C[a,b],在(a,b)内可导,f(a) f(b)。则存在 (a,b),使得f ( ) 0。
2、(拉格朗日定理)设f(x) C[a,b],在(a,b)内可导。则存在 (a,b),使得
f ( )
f(b) f(a)
。
b a
3、(柯西定理)设设f(x),F(x) C[a,b],在(a,b)内可导,F (x) 0(a x b)。则存在 (a,b),使得
f(b) f(a)f ( )
。
F(b) F(a)F ( )
4、(泰勒定理)设f(x)在x a的邻域内有直到n 1阶导数。则有
f (a)f(n)(a)2f(x) f(a) f (a)(x a) (x a) (x a)n Rn(x),
2!n!
f(n 1)( )
其中Rn(x)称为余项,Rn(x) 其中 介于a与x(x a)n称为拉格朗日型余项,
(n 1)!
之间;Rn(x) o((x a)n)称为皮亚诺型余项。
注解:
1、中值定理中的条件是结论成立的充分条件,而非必要条件。
2、柯西中值定理中F (x) 0(a x b)用以保证定理结论的等式两端分母不可能为零。 3、常用的马克劳林公式
x2xn
o(xn); (1)e 1 x 2n!
x
x3( 1)n2n 1
(2)sinx x x o(x2n 1);
3!(2n 1)!
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
x2x4( 1)n2n
(3)cosx 1 x o(x2n);
2!4!(2n)!
1
1 x x2 xn o(xn); 1 x1
1 x x2 ( 1)nxn o(xn); (5)
1 x
(4)
x2x3( 1)n 1n
x o(xn); (6)ln(1 x) x 23nx2xn
o(xn)。 (7) ln(1 x) x 2n
4、设f(x)在x x0的邻域内有n阶连续导数,则
f (x0)f(n)(x0)2
f(x) f(x0) f (x0)(x x0) (x x0) (x x0)n o((x x0)n)
2!n!
二、函数的单调性与极值
1、函数的单调性
(1)定义:
(2)函数单调性判别法: 2、函数的极值
(1)函数极值的定义:
(2)必要条件(函数的极值点一定是函数的驻点或者不可导的点,反之不对)。 (3)函数极值的判别: 1)第一充分条件: 2)第二充分条件:
三、函数的最值
1、设f(x) C[a,b],求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。 2、实际问题最优解。
3、具有唯一驻点的函数最值的讨论。
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
注解:
闭区间上连续函数的最大值和最小值不一定是其极大和极小值。
四、函数的凹凸性与拐点
1、曲线的凹凸及拐点的定义: 2、曲线凹凸性的判别方法:
五、渐近线
1、铅直渐近线:若limf(x) ,称x a为曲线y f(x)的一条铅直渐近线;
x a
2、水平渐近线:若limf(x) A,称y A为曲线y f(x)的一条水平渐近线;
x
3、斜渐近线:设y ax b为一条直线(其中a 0),若lim[f(x) ax b] 0,称直
x
线y ax b为曲线y f(x)的一条斜渐近线。若lim
x
f(x)
a( 0, ),x
lim[f(x) ax] b,则直线y ax b为曲线y f(x)的一条斜渐近线。
x
六、函数图象的描绘的步骤
1、求函数的定义域;
2、求函数的一阶导数和二阶导数,并求出函数的驻点及不可导的点、二阶导数的零点及二阶不可导的点;
3、求出函数的单调区间和凹凸区间及函数的极值点和拐点; 4、求函数的铅直、水平及斜渐近线; 5、描图。
七、弧微分、曲率与曲率半径
1、弧微分
2
(1)设曲线L:y f(x),则ds f (x)dx;
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
(2)设曲线L:
x (t)22
,则ds (t) (t)dt;
y (t)
r( )2 r 2( )d 。
(3)设曲线L:r r( ),则ds 2、曲率及曲率半径 (1)曲率:K
|y |(1 y 2)
32
;
(2)曲率半径:R
1。 K
例题部分
一、选择题
1、设f(x)在x 0的邻域内连续,且lim
f(x)
2,则在x 0处f(x) ( )
x 01 cosx
(A)不可导; (B)可导且f (0) 2; (C)取极大值; (D)取极小值。
2、函数f(x) x 2x q的零点个数是 ( )
3
(A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)个数与q有关。
2
3、设函数f(x)满足f (x) [f (x)] x,且f (0) 0,则 ( )
(A)f(0)是f(x)的极大值; (B)f(0)是f(x)的极小值;
(C)(0,f(0))是y f(x)的拐点; (D)f(0)非f(x)极值,(0,f(0))非y f(x)拐点。
二、解答题
1、设f(x) C[a,b],在(a,b)内可导,且f(a) f(b) 0,证明:存在 (a,b),使得f( ) f ( ) 0。
2、设f(x) C[a,b],在(a,b)内可导(a 0),且af(b) bf(a),证明:存在 (a,b),使得f ( )
f( )
。
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
3、设f(x) C[a,b](a 0),在(a,b)内可导,证明:存在 , (a,b),使得 f ( )
f ( )
(a b)。 2
4、设0 a b。证明:存在 (a,b),使得aeb bea (1 )e (a b)。
5、设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接(a,f(a)),(b,f(b))两点的直线与曲线y f(x)交于点(c,f(c)),(a c b),证明:存在 (a,b),使得f ( ) 0。 6、证明下列不等式:
(1)设f(0) g(0),f (0) g (0),f (x) g (x)。证明:当x 0时,f(x) g(x)。 (2)证明:ex 1 x(x 0)。
ab
(3)设a b e,证明:b a。
7、(1)研究方程xlnx k 0的实根个数。 (2)讨论方程xe
x
a(a 0)根的个数。
第四讲 不定积分
一、原函数与不定积分
1、设f(x),F(x)(x I)为两个函数,若对任意的x I有F (x) f(x),则称F(x)为
f(x)的原函数。
注解:
(1)连续函数一定存在原函数,反之不对; (2)有第一类间断点的函数一定不存在原函数,但有第二类间断点的函数可能存在原函数,
111 2
2xsi co,x 0xsin,x 0
如 f(x) ,。 F(x) xxx
0,x 0 0,x 0
(3)若一个函数存在原函数,则一定存在无穷多个原函数,且任意两个原函数之间相差常数。
2、不定积分—一个函数的所以原函数称为该函数的不定积分,记为
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
注解: (1)
f(x)dx F(x) C。
dd
f(x)dx f(x), dxf(x)dx f(x) C; dx
(2)一个可导的奇函数,其导函数及原函数皆为偶函数;
(3)一个可导的偶函数,其导函数一定为奇函数,但其原函数不一定为奇函数。 (4)周期函数的导数一定为周期函数,但其原函数不一定为周期函数。
二、不定积分的性质
1、[f(x) g(x)]dx
f(x)dx g(x)dx;
2、kf(x)dx kf(x)dx。
三、不定积分基本公式
1、kdx kx C;
a
2、xdx
11
xa 1(a 1), dx ln|x| C; a 1x
ax
3、 adx C, exdx ex C;
lna
x
4、(1)sinxdx cosx C; (2)cosxdx sinx C; (3)tanxdx ln|cosx| C; (4)cotxdx ln|sinx| C; (5)secxdx ln|secx tanx| C; (6)cscxdx ln|cscx cotx| C;
22
(7)secxdx tanx C; (8)cscxdx cotx C;
(9)secxtanxdx secx C; (10)cscxcotxdx cscx C。
2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】
5、(1)
1 x2
dx arcsinx,
x
dx arcsin C;
aa2 x2
1
111x
dx arctanx C arctan C; , 1 x2 a2 x2
aa
11x a
ln|| C; (3) 2
2ax ax a2
(2)(4)
1x2 a2
1x2 a2
2
2
dx ln(x x2 a2) C;
(5)
ln|x x2 a2| C;
(6)
a2xx
a xdx arcsin a2 x2 C。
2a2
四、积分法
1、换元积分法
(1)第一类换元积分法
f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)
(2)第二类换元积分法
t (x)
f(t)dt F(t) C F[ (x)] C。
f(x)dx f[ (t)] (t)dt g(t)dt G(t) C G[ 1(x)] C。
x (t)
2、分部积分法
udv uv vdu。
3、特殊函数的积分 (1)有理函数的积分: (2)三角有理函数的积分: (3)无理函数的积分:
上一篇:微积分第二章习题参考答案
下一篇:大用户直供电模式研究