2010考研数学春季高分规划班辅导讲义【2011考研免费资料】

发布时间:2024-11-08

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高等数学部分

第一讲 函数、极限、连续

一、极限

(一)极限基本概念 1、极限的定义

(1)数列极限:设{an}为一个数列,A为常数,若对任意 0,总存在N( ) 0,当

n N( )时,有|an A| 成立,则称A为数列{an}的极限,记liman A或

n

an A(n )。

(2)函数当自变量趋于无穷时的极限:设f(x)为一个函数,A为一个常数,若对任意

0,存在X 0,当|x| X时,有|f(x) A| 成立,称f(x)当x 时以A为

极限,记为limf(x) A或f(x) A(x )。

x

(3)函数当自变量趋于有限值的极限:设f(x)为一个函数,A为一个常数,若对任意

0,存在 0,当0 |x a| 时,有|f(x) A| 成立,称f(x)当x a时以

A为极限,记为limf(x) A或f(x) A(x a)。

x a

(4)左右极限:f(a 0) limf(x),f(a 0) limf(x),分别称f(a 0),f(a 0)

x a 0

x a 0

defdef

为函数f(x)在x a处的左右极限,limf(x)存在 f(a 0),f(a 0)都存在且相等。

x a

问题:

(1)若对任意的 0,总存在N 0,当n N时,有|an A| 2 ,数列{an}是否以常数A为极限?

(2)若数列{an}有一个子列以常数A为极限,数列{an}是否以常数A为极限? (3)若数列{an}的奇子列与偶子列都存在极限,数列{an}是否有极限?若其奇子列和偶子列极限存在且相等,数列{an}的极限是否存在?

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2、无穷小

(1)无穷小的定义:以零为极限的函数称为无穷小。 (2)无穷小的性质

1)有限个无穷小之和与积还是无穷小;

2)有界函数与无穷小之积还是无穷小。特殊情况,常数与无穷小之积还是无穷小; 3)极限与无穷小的关系: (3)无穷小的层次关系 1)定义: 2)性质:

设 ~ , ~ ,且lim

存在,则lim lim;

~ 的充分必要条件是 o( )。

(4)当x 0时常见的等价无穷小:

1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex 1~ln(1 x);

x2a

,1 cosax~x2; 2)1 cosx~22

3)(1 x) 1~ax。

(5)无穷大

1)定义:

2)无穷大与无穷小的关系。 问题:

(1)无穷多个无穷小之和是否一定是无穷小?

(2)设 , , 都是无穷小,且 o( ), o( ),是否一定有 ~ ?

(3)有限个非无穷小之和或者积是否一定不是无穷小?举例说明。 (二)极限的性质 1、极限的基本性质

(1)唯一性:数列或函数极限存在必是唯一的。 (2)有界性

1)若数列极限存在,则该数列一定有界,反之不对。 2)函数极限的局部有界性: (3)保号性

1)若函数的极限大于(或小于)零,则函数在该点的去心邻域内也大于(或小于)零; 2)若函数是非负(或非正)的,且函数的极限存在,则极限也是非负(或非正)。 (4)列与子列极限极限的关系:

a

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2、极限的存在性定理与重要极限 定理1 单调有界的数列必有极限。 定理2 夹逼定理(数列及函数): 重要极限:

x

sinxa 1

1; (2)lim(1 ) e; (3)lim lna。 (1)lim

x 0 0x 0xx

1

3、极限运算性质 (1)四则运算性质

(2)复合函数极限运算性质 注解: 问题:

(1)若{an}有界,liman是否一定存在?

n

(2)若liman A,当m n时,是否一定有|am A| |an A|?举例说明。

n

(3)若lim[f(x) g(x)]存在,limf(x)及limg(x)是否存在?若lim[f(x) g(x)]及

limg(x)存在,是否一定有limf(x)存在?

(4)若f(x) 0( 0),且limf(x) A,是否一定有A 0( 0)?举例说明。

二、连续与间断

(一)基本概念 1、函数连续的定义

(1)函数在一点连续的定义及等价定义 (2)函数在闭区间上连续的定义 2、间断及其间断点的分类 (1)第一类间断点: (2)第二类间断点。

(二)闭区间上连续函数的性质 1、最值定理 2、有界定理 3、零点定理 4、介值定理

(1)最值型介值定理: (2)端点型介值定理:

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注解:

(1)初等函数在其定义域内连续;

(2)函数在一点连续的充分必要条件是该点的函数值、左右极限相等。 问题:

(1)设f(x),g(x)都在x a处间断,则f(x) g(x),f(x) g(x),

f(x)2

,f(x)是否一定g(x)

在x a处间断?

(2)若函数在一点连续,函数是否在该点的邻域内也连续?举例说明。

例题部分

一、填空题

ex 1

1、lim ______。

x 0xln(1 2x)

2、设2 x2 2~axb(x 0),则a ___,b ___。

2

sinx tanx

______。

x 0x2arcsinx

ln[1 f(x)]f(x)

2lim ______。 4、设lim,则22x 0x 0xx

3、lim

f(x) bef(x) ea A,则lim ______。 5、设lim

x ax ax ax a

a 0,b 0,c 0)。 6、lim(a b c) ______(

n

nnn

1

n

x2nnn

x 0)。 7、lim[1 x ()] ______(

n 2

8、lim(

x 0

1

11

) ______。 x2xtanx

sin2x e2ax 1

,x 0

9、设f(x) 在点x 0处连续,则a ______。 x

a,x 0

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二、解答题

1、判别函数f(x) ln(x x2 1)的奇偶性,并求其反函数。 2、求下列极限:

(2x 1)2000(3x 2)10ln(x2 3x 1)

(1)lim。 (2)lim。

x x (5x 2)2010ln(x10 1)

xxxax bxx

(3)limcoscos2 cosn(x 0)。 (4)lim()(a 0,b 0)。

x 0x 02222

1

1x2

(5)lim(cos)。 (6)lim(2sinx cosx)x。

x x 0x

1

ln(ex x2) x2

(7)lim。 (8)limsinn 1 。 ______

n x 0ln(3x2 e3x) 3x

1

1 1121 cosx

1 sinx。 (9)lim ; (10)limx 0n 1 33 5(2n 1)(2n 1)

(11)lim

tanx sinx 1 tanx

。 ; (12)limx 01 sinxx 0x(1 cosx)

1

x3

3、证明数列,3 3, ,3 3 3极限存在,并求其极限。 4、设x1 1,xn 1 xn 0,证明数列{xn}收敛,并求limxn。

n

5、设a1,a2, ,an为常数,f(x) a1ln1( x) a2ln1( 2x) anln1( nx)。且

|f(x)| |x|,证明:|a1 2a2 nan| 1。

6、求极限lim(

n

12n

)。 n2 1n2 2n2 n

7、设f(x) C[a,b],xi [a,b](1 i n),ki 0(1 i n)且k1 k2 kn 1,证明:存在 [a,b],使得f( ) k1f(x1) knf(xn)。

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第二讲 导数与微分

一、导数的基本概念

设y f(x)在x a的邻域内有定义, y f(a x) f(a),若lim

y

存在,则

x 0 x

称函数y f(x)在点x a可导,极限称为函数y f(x)在x a处的导数,记为f (a)。 注解:

il(1)若m

y y

(a),il存在,称此极限为函数f(x)在x a处的右导数,记为f 若m

x 0 x x 0 x

(a),函数f(x)在x a处可导存在,称此极限为函数f(x)在x a处的左导数,记为f (a)与f (a)都存在且相等。 的充分必要条件是f

(2)导数的等价定义

f (a) lim

yf(x) f(a)

,f (a) lim。

x 0 xx ax a

注解:导数的几何意义是:函数在某一点的导数即为函数所对应的曲线上的点切线的斜率。

问题:

(1)设f (a)存在,问lim

h 0

f(a 3h) f(a 2h)

是否存在?若存在求之,不存在举反例

h

说明。 (2)设lim

h 0

f(a 2h) f(a h)

存在,问f (a)是否存在?若存在证明之,若不存在举

h

反例说明。 (3)设lim

h 0

f(1 cosh) f(0)

存在,f (0)是否存在?说明理由。 2

ln(1 h)

1

f(a ) f(a)

n (a)是否存在?说明理由。 (4)设lim存在,f

n 1/n

(5)设f(x)在x a处可导,问f (x)是否在x a处连续? (6)f(x)在x a处可导,是否有f(x)在x a的邻域内连续? (7)是否存在只有一个可导点的函数?

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二、求导工具

(一)求导基本公式

1、(C) 0(常数函数导数公式); 2、(xa) axa 1,特殊情形(x)

11

,() 2(幂函数导数公式); xx2x

1

3、(ax) axlna,特殊情形(ex) ex(指数函数导数公式); 4、(logax)

11

,特殊情形(lnx) (对数函数导数公式); xlnax

5、(三角函数导数公式):

1)(sinx) cosx; 2)(cosx) sinx; 3)(tanx) sec2x; 4)(cotx) cscx; 5)(secx) secxtanx; 6)(cscx) cscxcotx; 7)(sinx) sin2x; 8)(cosx) sin2x; 9)(sinxcosx) cos2x。 6、(反三角函数导数公式): 1)(arcsinx)

2

2

2

1 x

2

; 2)(arccosx)

1 x

2

3)(arctanx) 7、补充公式: 1)(sinx)

x

(n)

11

(arccotx) ; 4)。

1 x21 x2

n n (n)

sin x ; 2)(cosx) cos x ;

22

x

3)[ef(x)] e[f(x) f (x)]。 (二)求导法则

1、四则求导法则 (1)(u v) u v ;

(2)(uv) u v uv ,(ku) ku ;

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(3)()

uvu v uv

; 2

v

0(n)1(n 1)n

(4)(uv)(n) Cnuv Cnuv Cnuv(n)。

2、复合函数求导法则

设y f(u),u (x)皆可导,则y f[ (x)]可导,且3、反函数的导数

设y f(x)与x g(y)互为可导的反函数,且g (y) 0,则f (x) 注解:

(1)原函数与其反函数的导数之间为倒数关系; (2)二阶导数之间没有这种关系。

dydydu f (u) (x)。 dxdudx

1

。 g (y)

三、可微与微分

1、可微的定义

2、连续、可导与可微的关系 3、一阶微分形式的不变性 4、求导类型

(1)显函数的导数; (2)参数方程的导数; (3)隐函数的导数;

(4)变积分限的函数的导数; (5)分段函数的导数; (6)高阶导数。

例题部分

1、设f (x0)存在, (1)求lim

h 0

f(x0 ah) f(x0)f(x0 ah) f(x0 bh)

(ab 0)。 ; (2)lim

h 0hh

x 2

2、设f(x)在x 2处连续,且lim

f(x)

1,求f (2)。 2

x 4

3、设对任意的x,y ( , ),有f(x y) f(x)f(y),且f (0) 1,证明f(x)处处可导。

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4、设y f(x)与y ln(1 2x)在坐标原点处相切,求limnf()。

n

1

n

1f(a )

)n。 5、设f(x)在x a处可导,且f(a) 0,求lim(

n f(a)

6、求下列函数的导数:

(1)y eln(1 2x) tan(1 e) ln ; (2)y x(3)设xy yx,求

x

2

2x

2x

sin2x e

2

sin

1

x

dydy; (4)tan(x y) 3x2y 2x 5,求; dxdx

2

x 1 td2ydyxy

(5)设e tan(xy) y,求; (6)设 ,求; 2

y arctantdxdxx 0

x t ln(1 t)d2y

(7)设 ,求。 232

dx y t t

1 2

xsin sinx,x 0

7、(1)设f(x) ,讨论函数f(x)在x 0处的连续性和可导性。 x

ln(1 x),x 0

x sinx 2ae,x 0

(2)设f(x) 在x 0处可导,求常数a,b。 3

9arctanx 2b(x 1),x 0

g(x) sinx 1

,x 0

(3)设f(x) ,其中g(0) 1,g (0) g (0) 2,且f(x)在x

ax b,x 0

x 0处可导,求a,b。

8、(1)设f(x) ln(3 2x),求f(3)设f(x)

(n)

(x); (2)设f(x)

1(n)

,求f(x); 2

x 5x 6

x 3(n)x(n)

,求f(x); (4)设f(x) esinx,求f(x)。 2

x 2x 8

(101)

(5)设f(x) (x 1)(x 2)(x 3) (x 100),求f (1)及f

(x)。

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第三讲 一元函数微分学的应用

一、 中值定理

1、(罗尔定理)设f(x) C[a,b],在(a,b)内可导,f(a) f(b)。则存在 (a,b),使得f ( ) 0。

2、(拉格朗日定理)设f(x) C[a,b],在(a,b)内可导。则存在 (a,b),使得

f ( )

f(b) f(a)

b a

3、(柯西定理)设设f(x),F(x) C[a,b],在(a,b)内可导,F (x) 0(a x b)。则存在 (a,b),使得

f(b) f(a)f ( )

F(b) F(a)F ( )

4、(泰勒定理)设f(x)在x a的邻域内有直到n 1阶导数。则有

f (a)f(n)(a)2f(x) f(a) f (a)(x a) (x a) (x a)n Rn(x),

2!n!

f(n 1)( )

其中Rn(x)称为余项,Rn(x) 其中 介于a与x(x a)n称为拉格朗日型余项,

(n 1)!

之间;Rn(x) o((x a)n)称为皮亚诺型余项。

注解:

1、中值定理中的条件是结论成立的充分条件,而非必要条件。

2、柯西中值定理中F (x) 0(a x b)用以保证定理结论的等式两端分母不可能为零。 3、常用的马克劳林公式

x2xn

o(xn); (1)e 1 x 2n!

x

x3( 1)n2n 1

(2)sinx x x o(x2n 1);

3!(2n 1)!

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x2x4( 1)n2n

(3)cosx 1 x o(x2n);

2!4!(2n)!

1

1 x x2 xn o(xn); 1 x1

1 x x2 ( 1)nxn o(xn); (5)

1 x

(4)

x2x3( 1)n 1n

x o(xn); (6)ln(1 x) x 23nx2xn

o(xn)。 (7) ln(1 x) x 2n

4、设f(x)在x x0的邻域内有n阶连续导数,则

f (x0)f(n)(x0)2

f(x) f(x0) f (x0)(x x0) (x x0) (x x0)n o((x x0)n)

2!n!

二、函数的单调性与极值

1、函数的单调性

(1)定义:

(2)函数单调性判别法: 2、函数的极值

(1)函数极值的定义:

(2)必要条件(函数的极值点一定是函数的驻点或者不可导的点,反之不对)。 (3)函数极值的判别: 1)第一充分条件: 2)第二充分条件:

三、函数的最值

1、设f(x) C[a,b],求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。 2、实际问题最优解。

3、具有唯一驻点的函数最值的讨论。

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注解:

闭区间上连续函数的最大值和最小值不一定是其极大和极小值。

四、函数的凹凸性与拐点

1、曲线的凹凸及拐点的定义: 2、曲线凹凸性的判别方法:

五、渐近线

1、铅直渐近线:若limf(x) ,称x a为曲线y f(x)的一条铅直渐近线;

x a

2、水平渐近线:若limf(x) A,称y A为曲线y f(x)的一条水平渐近线;

x

3、斜渐近线:设y ax b为一条直线(其中a 0),若lim[f(x) ax b] 0,称直

x

线y ax b为曲线y f(x)的一条斜渐近线。若lim

x

f(x)

a( 0, ),x

lim[f(x) ax] b,则直线y ax b为曲线y f(x)的一条斜渐近线。

x

六、函数图象的描绘的步骤

1、求函数的定义域;

2、求函数的一阶导数和二阶导数,并求出函数的驻点及不可导的点、二阶导数的零点及二阶不可导的点;

3、求出函数的单调区间和凹凸区间及函数的极值点和拐点; 4、求函数的铅直、水平及斜渐近线; 5、描图。

七、弧微分、曲率与曲率半径

1、弧微分

2

(1)设曲线L:y f(x),则ds f (x)dx;

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(2)设曲线L:

x (t)22

,则ds (t) (t)dt;

y (t)

r( )2 r 2( )d 。

(3)设曲线L:r r( ),则ds 2、曲率及曲率半径 (1)曲率:K

|y |(1 y 2)

32

(2)曲率半径:R

1。 K

例题部分

一、选择题

1、设f(x)在x 0的邻域内连续,且lim

f(x)

2,则在x 0处f(x) ( )

x 01 cosx

(A)不可导; (B)可导且f (0) 2; (C)取极大值; (D)取极小值。

2、函数f(x) x 2x q的零点个数是 ( )

3

(A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)个数与q有关。

2

3、设函数f(x)满足f (x) [f (x)] x,且f (0) 0,则 ( )

(A)f(0)是f(x)的极大值; (B)f(0)是f(x)的极小值;

(C)(0,f(0))是y f(x)的拐点; (D)f(0)非f(x)极值,(0,f(0))非y f(x)拐点。

二、解答题

1、设f(x) C[a,b],在(a,b)内可导,且f(a) f(b) 0,证明:存在 (a,b),使得f( ) f ( ) 0。

2、设f(x) C[a,b],在(a,b)内可导(a 0),且af(b) bf(a),证明:存在 (a,b),使得f ( )

f( )

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3、设f(x) C[a,b](a 0),在(a,b)内可导,证明:存在 , (a,b),使得 f ( )

f ( )

(a b)。 2

4、设0 a b。证明:存在 (a,b),使得aeb bea (1 )e (a b)。

5、设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接(a,f(a)),(b,f(b))两点的直线与曲线y f(x)交于点(c,f(c)),(a c b),证明:存在 (a,b),使得f ( ) 0。 6、证明下列不等式:

(1)设f(0) g(0),f (0) g (0),f (x) g (x)。证明:当x 0时,f(x) g(x)。 (2)证明:ex 1 x(x 0)。

ab

(3)设a b e,证明:b a。

7、(1)研究方程xlnx k 0的实根个数。 (2)讨论方程xe

x

a(a 0)根的个数。

第四讲 不定积分

一、原函数与不定积分

1、设f(x),F(x)(x I)为两个函数,若对任意的x I有F (x) f(x),则称F(x)为

f(x)的原函数。

注解:

(1)连续函数一定存在原函数,反之不对; (2)有第一类间断点的函数一定不存在原函数,但有第二类间断点的函数可能存在原函数,

111 2

2xsi co,x 0xsin,x 0

如 f(x) ,。 F(x) xxx

0,x 0 0,x 0

(3)若一个函数存在原函数,则一定存在无穷多个原函数,且任意两个原函数之间相差常数。

2、不定积分—一个函数的所以原函数称为该函数的不定积分,记为

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注解: (1)

f(x)dx F(x) C。

dd

f(x)dx f(x), dxf(x)dx f(x) C; dx

(2)一个可导的奇函数,其导函数及原函数皆为偶函数;

(3)一个可导的偶函数,其导函数一定为奇函数,但其原函数不一定为奇函数。 (4)周期函数的导数一定为周期函数,但其原函数不一定为周期函数。

二、不定积分的性质

1、[f(x) g(x)]dx

f(x)dx g(x)dx;

2、kf(x)dx kf(x)dx。

三、不定积分基本公式

1、kdx kx C;

a

2、xdx

11

xa 1(a 1), dx ln|x| C; a 1x

ax

3、 adx C, exdx ex C;

lna

x

4、(1)sinxdx cosx C; (2)cosxdx sinx C; (3)tanxdx ln|cosx| C; (4)cotxdx ln|sinx| C; (5)secxdx ln|secx tanx| C; (6)cscxdx ln|cscx cotx| C;

22

(7)secxdx tanx C; (8)cscxdx cotx C;

(9)secxtanxdx secx C; (10)cscxcotxdx cscx C。

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5、(1)

1 x2

dx arcsinx,

x

dx arcsin C;

aa2 x2

1

111x

dx arctanx C arctan C; , 1 x2 a2 x2

aa

11x a

ln|| C; (3) 2

2ax ax a2

(2)(4)

1x2 a2

1x2 a2

2

2

dx ln(x x2 a2) C;

(5)

ln|x x2 a2| C;

(6)

a2xx

a xdx arcsin a2 x2 C。

2a2

四、积分法

1、换元积分法

(1)第一类换元积分法

f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)

(2)第二类换元积分法

t (x)

f(t)dt F(t) C F[ (x)] C。

f(x)dx f[ (t)] (t)dt g(t)dt G(t) C G[ 1(x)] C。

x (t)

2、分部积分法

udv uv vdu。

3、特殊函数的积分 (1)有理函数的积分: (2)三角有理函数的积分: (3)无理函数的积分:

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