高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西

不等式优化练习

[课时作业]

[A组基础巩固]

1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是( ) A．[－2，2 ]

B．[－2，2 ]

C．[－， ]

D．(－， ]

解析：∵a2＋b2＝10，∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2，

即20≥(a＋b)2，∴－2 ≤a＋b≤2.

答案：A

2．函数y＝2＋的最大值是( )

A．3 B．3

2

C. D．4

解析：y2＝2

≤[22＋()2]＝6×＝3，

当且仅当2＝·，

即x＝时等号成立．

∴y的最大值为.

1 / 6

答案：C

3．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为( )

A. B．ab

C. D．a2＋b2

2

解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，当m＝n ＝，

x＝y＝时，(mx＋ny)max＝.

答案：B

4．若a＋b＝1，则2＋2的最小值为( )

A．1 B．2

C. D．7

2

解析：2＋2

＝a2＋2＋＋b2＋2＋.

∵a＋b＝1，

∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)

≥·(a＋b)2＝，

又＋≥≥＝8，

以上两个不等式都是当且仅当a＝b＝时，等号成立

∴2＋2

≥＋2＋2＋8＝，

当且仅当a＝b＝时等号成立，取到最小值.

答案：C

2 / 6

3 / 65．若长方形ABCD 是半径为R 的圆的内接长方形，则长方形ABCD 周长的最大值为( )

A ．2R

B ．2R

C ．4R

D ．4R

解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽

为，于是ABCD 的周长l ＝2(x ＋)＝2(1×x＋1×)．

由柯西不等式得

l≤2[x2＋()2](12＋12)12

＝2×2R×＝4R.

当且仅当x·1＝·1，

即x ＝R 时等号成立．

此时＝ ＝R ，

即四边形ABCD 为正方形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为4R.

答案：D

6．若存在实数x 使＋>a 成立，常数a 的取值范围为________． 解析：＋＝×＋1×，

由柯西不等式得(×＋1×)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， 所以＋≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，

于是，常数a 的取值范围是(－∞，8)．

答案：(－∞，8)

7．设xy>0，则(x2＋)·(y2＋)的最小值为________．

解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y2

4 / 6≥2＝9.

答案：9

8．设实数x ， y 满足3x2＋2y2＝6，则2x ＋y 的最大值为________． 解析：∵[(x)2＋(y)2]≥(2x＋y)2，

∴|2x ＋y|≤ ＝，

当且仅当×y＝×x，

即3x ＝4y 且3x2＋2y2＝6时，等号成立，而此方程组有解． ∴2x ＋y 的最大值为. 答案：11

9．已知θ为锐角，a ，b>0，求证：(a ＋b)2≤＋.

证明：设m ＝，n ＝(cos θ，sin θ)，

则|a ＋b|＝|·cos θ＋·sin θ|

＝|m·n|≤|m||n|＝·＝，

∴(a ＋b)2≤＋.

10．设a ，b∈R＋，若a ＋b ＝2，求＋的最小值．

解析：∵(a＋b)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b ＝[()2＋()2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2 ≥2＝(1＋1)2＝4.

∴2≥4，即≥2.

当且仅当·＝·，即a ＝b 时取等号，

∴当a ＝b ＝1时，＋的最小值为2.

[B 组 能力提升]

1．设a1、a2、b1、b 2∈R，则下列不等式中，柯西不等式用错的是

( )

A．(a＋b)·(a＋b)≥(a1a2＋b1b2)2

B．(a＋b)·(a＋b)≥(a1b2＋b1a2)2

C．(a＋b)·(a＋b)≥(a1b1＋a2b2)2

D．(a＋a)·(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2

答案：C

2．设xy>0，则的最小值为________．

解析：原式＝[x2＋()2][()2＋y2]≥(x·＋·y)2＝9.

答案：9

3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是________．

解析：(＋)2＝(1×＋1×)2≤(

12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×|4×1＋2|＝12.

答案：12

4．已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ<c，求证：cos2θ＋sin2θ<.

解析：由柯西不等式，得cos2θ＋sin2θ≤[(cos θ)2＋(sin θ)2]·(cos2θ＋sin2θ) ＝(acos2θ＋bsin2θ)<.

5．若x2＋4y2＝5.求x＋y的最大值及最大值点．

解析：由柯西不等式得

[x2＋(2y)2][12＋()2]≥(x＋y)2

即(x＋y)2≤5×＝，x＋y≤.

当且仅当＝，即x＝4y时取等号．

由得或(舍去)．

5 / 6

∴x＋y的最大值为，最大值点为(2，)．

6 / 6