第二章 插值法习题讲评

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当 1、x = 1, 1, 2时，f ( x) = 0, 3, 4, 求f ( x)的二次插值多项式 、

解：(1)用单项 ：(1 式做基底

设P ( x) = ax 2 + bx + c 1 0 = a + b + c a = 5 / 6 3 = a b + c b = 3 / 2 2 = 4a + 2b + c c = 7 / 3

(2)用拉格朗 日插值基底

L2 ( x) = f ( x0 )l0 ( x) + f ( x1 )l1 ( x) + f ( x2 )l2 ( x) =0 + ( 3) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x + 1) +4 ( 1 1)( 1 2) (2 1)(2 + 1)

= 5 / 6 x2 + 3 / 2 x 7 / 3

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当x = 1, 1, 2时，f ( x) = 0, 3, 4, 求f ( x)的二次插值多项式

(3)应用Newton插值多项式 应用Newton插值多项式 Newton1 -1 2 0 -3 4 3/2 7/3

5/6

N 2 ( x) = 0 + 3 / 2( x 1) + 5 / 6( x 1)( x + 1) = 5 / 6 x2 + 3 / 2 x 7 / 3

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3、给出 cos x(0o ≤ x ≤ 90o )的函数表，步长h=(1/60)o 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 cos x近似值时的总误差界。x xi +1 x xi i π 当x ∈ [ xi , xi +1 ]时，L1 ( x) = f ( xi ) + f ( xi +1 ) , xi = xi xi +1 xi +1 xi 60 180 x xi +1 x xi * L ( x) = f ( xi ) + f ( xi +1 ) xi xi +1 xi +1 xi* 1 *

这样，得到的误差估计为: 这样，得到的误差估计为:cos x L* ( x) = cos x L1 ( x) + L1 ( x) L* ( x ) 1 1 ≤ cos x L1 ( x) + L1 ( x) L* ( x) 1

所以，误差包括两部分，一是截断误差， 所以，误差包括两部分，一是截断误差，二是初始数 据误差的传播。 据误差的传播。

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截断误差： 截断误差：

(cos ξ )′ 1 cos x L1 ( x) = ( x xi )( x xi +1 ) ≤ max ( x xi )( x xi +1 ) 2! 2 xi ≤ x ≤ xi+1

1 1 π ≤ ≈ 1.06 × 10 8 2 2 10800 2

舍入误差传播： 舍入误差传播：x xi +1 x xi * L1 ( x) L1 ( x) = e( f ( xi )) + e( f ( xi +1 )) xi xi +1 xi +1 xi* ** *

xi +1 x x xi ≤ max{ e( f ( xi )) , e( f ( xi +1 )) } × ( + ) xi +1 xi xi +1 xi = max{ e( f * ( xi )) , e( f * ( xi +1 )) }

e( f * ( xi )) ≤ 0.5 ×10 5

总误差界为： 总误差界为：

1.06 × 10 + 0.5 × 10 = 0.50106 × 10

8

5

5

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5、设f ( x) ∈ C 2 [a, b]且f (a ) = f (b) = 0.求证 1 max f ( x) ≤ (b a) 2 max f ′′( x) a ≤ x ≤b a ≤ x ≤b 8

x b x a L1 ( x ) = f ( a ) + f (b) ≡0 a b b a

应用插值余项公式有： 应用插值余项公式有：1 f ( x) L1 ( x) = f ′′(ξ )( x a )( x b) 2! 1 ≤ max f ′′(ξ ) max ( x a )( x b) 2 1 ≤ (b a ) 2 max f ′′( x) 8

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2 y j = yn y0 11、 11、证明 ∑j =0

n 1

2 y j = ∑ ( y j ) = ∑ ( y j +1 y j ) = yn y0 ∑j =0 j =0 j =0

n 1

n 1

n 1

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12、 12、若 f ( x) = ∑ ai x i 有n个不同实根 xii =0k j

n

证明： ,证明：

∑j =1

n

0 x = 1 f ′( x j ) an

0≤ k ≤ n 2 k = n 1

证明： f(x

)是 次多项式且有互异实根知： 证明：由f(x)是n次多项式且有互异实根知： f ( x) = an ( x x1 )L ( x xn ) = anωn ( x)

∑j =1

n

n xk xk j j =∑ ′ f ′( x j ) j =1 anωn ( x j )

g ( x) = x k ,并利用差商的函数表达形式有： 并利用差商的函数表达形式有： 记

∑j =1

n

n xk xk 1 j j =∑ = ′ f ′( x j ) j =1 anωn ( x j ) an

g(x j ) 1 ∑ ω ′ ( x ) = a g[ x1 , x2 ,L, xn ] j =1 n j nn

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再利用差商和导数的关系， 再利用差商和导数的关系，有

∑j =1

n

0 x 1 = g[ x1 , x2 ,L , xn ] = 1 g ( n 1) (ξ ) 1 f ′( x j ) an a (n 1)! = a n nk j

0≤ k ≤ n 2 k = n 1

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13、求次数小于等于3的多项式P(x)使其满足条件： 13、求次数小于等于3的多项式P(x)使其满足条件： P(x)使其满足条件P ( x0 ) = f ( x0 ), P′( x0 ) = f ′( x0 ), P′′( x0 ) = f ′′( x0 ), P ( x1 ) = f ( x1 )

解：P( x) = f ( x ) + f ′( x )( x x ) + 1 f ′′( x )( x x ) 2 + A( x x )3 0 0 0 0 0 02

由

P ( x1 ) = f ( x1 )

求解出A的值。 求解出A的值。