2-1-1 直线的倾斜角和斜率 课件(北师大版必修二)(2)

直线

直线

§ 直线与直线的方程 1 1.1 直线的倾斜角和斜率

直线

【课标要求】 1.掌握直线的倾斜角的概念. 2.掌握直线的斜率的概念，并理解斜率与倾斜角之间的关系. 3.能熟练地运用斜率的定义及两点斜率公式求直线的斜率. 【核心扫描】 1.直线倾斜角的概念及斜率的概念与计算.(重点) 2.倾斜角的范围与斜率的范围之间的转化.(难点) 3.直线的倾斜角与斜率之间的关系.(疑点)

直线

自学导引 1.直线的确定 在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线 上的一个点 和这条直线的 方向 . 2.倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴 相交 的直线 l,把 x 轴(正方向)按 逆时针 方向绕着交点旋转到和直线 l 重 合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角；通常倾斜角用 α 表示，如 图①和图②所示.

直线

(2)范围：如图③所示，当直线 l 与 x 轴平行时，它的倾斜角 为 0°.倾斜角的取值范围为 0°≤α<180° .

(3)作用： 在平面直角坐标系中， 直线的倾斜角刻画了直线 倾斜 的 程度，即用角表示直线的倾斜程度.

直线

3.斜率 (1)定义：直线的倾斜角的 正切值 叫作这条直线的斜率.通常 用小写字母 k 表示，即 k=tan α.直线的斜率的取值范围是 R.倾 斜角是 90° 的直线没有斜率. (2)符号：当倾斜角 0° ≤α<90° 时，斜率是 非负 的，倾斜角越 大，直线的斜率就越 大 ；当倾斜角 90° <α<180° 时，斜率 是 负 的，倾斜角越大，直线的斜率就越 大 . (3)公式： 在直线上任取两个不同点 P1(x1, 1), 2(x2, 2)(x1≠x2), y P y y2-y1 过点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线斜率公式为 k= . x2-x1

直线

名师点睛 1.对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对 x 轴正方向 的倾斜程度. (2)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾 斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其 倾斜角不相等. (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.

直线

2.过两点的直线斜率的计算公式 (1)斜率公式与 P1,P2 两点的位置无关(即在直线 l 上任取两点 P1,P2,其斜率均不变),而与两点相应坐标的差的顺序有关. (2)斜率计算公式反映了直线倾斜角同斜率间的对应关系.运用 斜率公式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与 x 轴垂直， 而当直线与 x 轴垂直时，直线的倾斜角为 90° ,其斜率不存在. (3)利用斜率可以求直线上的点的坐标，反之也可以由斜率及有 关点的坐标来确定相关的参数.

直线

题型一

直线的斜率与倾斜角的关系

【例 1】 已知直线上两点 M(2m+3,-3),N(m-2,1). (1)当 m 为何值时，直线 MN 的倾斜角为锐

角？ (2)当 m 为何值时，直线 MN 的倾斜角为钝角？ (3)当 m 为何值时，直线 MN 的倾斜角为直角？ y2-y1 [思路探索] (1)当 x1≠x2 时，由 k= 即可求出斜率，(2)若 x2-x1 x1=x2 时，则 MN 与 y 轴平行，即 MN 的倾斜角为直角.再利 用斜率与倾斜角的关系，便可得到答案.

直线

解 (1)当直线 MN 的倾斜角为锐角时， 1- -3 4 kMN= = >0, m-2 - 2m+3 -m-5 故-m-5>0,m<-5. (2)当直线 MN 的倾斜角为钝角时， 1- -3 4 kMN= = <0, m-2 - 2m+3 -m-5 故-m-5<0,m>-5. (3)当直线 MN 的倾斜角为直角时， 2m+3=m-2,m=-5.

直线

规律方法 判断直线的倾斜角可以利用斜率.若 k>0,则倾斜 角为锐角；若 k=0,则倾斜角为 0° 角；若 k<0,则倾斜角为钝 角；若 k 不存在，则倾斜角为直角.

直线

【变式 1】 设 m>0,斜率为 m 的直线上有两点(m,3)和(1,m), 则此直线的倾斜角为________. m-3 解析 由斜率公式，得 =m,解得 m=± 3,又 m>0,所 1-m 以 m= 3,于是直线的斜率 k= 3,即 tan α= 3,又 0° ≤α< 180° ,所以 α=60° ,即此直线的倾斜角为 60° . 答案 60°

直线

题型二

共线与斜率的关系

【例 2】 已知三点 A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线 上，求实数 a 的值. [思路探索] 由于三点共线，其中任意两点都可表示出这条直线 的斜率，故可以按照求 kAB,求 kBC,再由 kAB=kBC,求 a 的顺 序求解.

直线

解 ∵A、B、C 三点共线，且 3≠-2, ∴BC 的斜率存在， ∴AB 的斜率存在，且 kAB=kBC. 7-2 -9a-7 9a+7 5 ∵kAB= = ,k = = 5 , 3-a 3-a BC -2-3 9a+7 5 ∴ 5 = , 3-a ∴25=27a+21-9a2-7a, 即 9a2-20a+4=0, 2 解得 a=2 或 a=9.

直线

规律方法

已知三点中，若任意两点连线的斜率相等，则此三

点一定共线；反之，当三点共线时，任意两点连线的斜率一定 相等(除非都不存在).解这类问题时要先对斜率是否存在作出 判断，有时要先进行讨论，然后再下结论.

直线

【变式 2】 已知三点 A(1,-1),B(4,-2),C(-2,0),证明： A,B,C 三点共线. 证明 -2+1 0+2 1 1 因为 kAB= =- ,kBC= =- ,kAB=kBC, 3 3 4-1 -2-4

且直线 AB,BC 有共同的点 B,所以 A,B,C 三点共线.