信号与系统 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

第四章

拉普拉斯变换、连续时 间系统的S域分析

4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域 拉普拉斯变换的定义、 4.3 拉氏变换的基本性质 4.4 拉普拉斯逆变换 4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型 用拉普拉斯变换法分析电路、 域元件模型 4.6 系统函数(网络函数)H(s) 系统函数(网络函数) 4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性 由系统函数零、 4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性 由系统函数零、 4.9 全通函数与最小相移函数的零、极点分布 全通函数与最小相移函数的零、 4.10 线性系统的稳定性 4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

拉普拉斯变换

4.1

引言

频域分析以虚指数信号 e jωt 为基本信号，任意信号 为基本信号， 的虚指数分量之和， 可分解为众多不同频率 的虚指数分量之和，使 响应的 求解得以简化， 义清楚。 求解得以简化，物理意 义清楚。但也有不足之处： 但也有不足之处： 1 傅里叶变换， ()有些重要信号不存在 傅里叶变换，如 e 2 t u (t ); (2 对于给定初始状态的 系统难于利用频域分析 。 )

本章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域 本章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域 中来解决这些问题。 中来解决这些问题。

拉普拉斯变换

本章引入复频率 s = σ + jω ,以复指数函数 e st 为 基本信号， 基本信号，任意信号可 分解为不同复频率的复 指数 分量之和。 分量之和。

这里用于系统分析的独立变量是复频率 ，故称 这里用于系统分析的独立变量是复频率s, 复频率 域分析， 拉普拉斯变换。 为s域分析，所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 域分析 所采用的数学工具为拉普拉斯变换 拉普拉斯变换方法在解决电路理论问题， 拉普拉斯变换方法在解决电路理论问题，在解决 连续、线性、时不变系统分析中是不可缺少的工具。 连续、线性、时不变系统分析中是不可缺少的工具。

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的优点： 拉普拉斯变换的优点： 优点 简化了函数：指数函数、超越函数及有不连续点的函 简化了函数：指数函数、数→简单的初等函数； 简单的初等函数；

简化了运算：微分、积分→乘法及除法运算； 微分方 简化了运算：微分、积分→乘法及除法运算；程→代数方程；把卷积运算→乘法运算； 代数方程；把卷积运算→乘法运算；

不需要确定常数：解微分方程，同时给出特解和补 不需要确定常数：解微分方程，解，且包含初始条件； 且包含初始条件；

有效利用了阶跃响应和冲激响应； 有效利用了阶跃响应和冲激响应； 利用系统函数的零、极点分布可以直观地表达系 利用系统函数的零、 利用系统函

数的零 统性能的许多规律。 统性能的许多规律。

拉普拉斯变换

4.2

拉普拉斯变换的定义、 拉普拉斯变换的定义、收敛域

一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换 、 F (ω ) = ∫ ∞ f (t ) e jωt d t 傅里叶变换对 1 ∞ f (t ) = F (ω ) e jωt d ω ∫ ∞ 2π∞

σt 为任意实数) 信号 f (t ),乘以一个衰减因子 e ( σ 为任意实数)

依傅里叶变换， 后容易满足绝对可积条 件，依傅里叶变换，有 F1 (ω ) = F [ f (t ) e令s =σ + jω ∞ σ t

] = ∫ [ f (t )e ]e∞ σ t ∞

jω t

dt = ∫ ∞ f (t )e ( σ + jω ) t dt

∞

F (s) = ∫ ∞ f (t )e st dt

—— 拉普拉斯变换 记为F (s) = L[ f (t )]

拉普拉斯变换

1 ∞ F1 (ω ) e jωt d ω 而 f (t )e = F [F1 (ω ) ] = ∫ ∞ 2π 1 ∞ F1 (ω ) e (σ + jω )t d ω f (t ) = ∫ ∞ 2π s =σ + j ω 1 σ + j∞ f (t ) = F ( s ) e st ds ∫ 2πj σ j∞ σ t 1

—— 拉普拉斯逆变换 记为f (t ) = L 1 [F (s)]

f (t ) F ( s),为拉普拉斯变换对 f (t ) — —原函数，F ( s) — —象函数 原函数，

拉普拉斯变换

果信号： 考虑到实际信号都是因 果信号： t < 0时， f (t ) = 0 ∴ F (ω ) = ∫0 f (t ) e jωt dt∞

F ( s ) = ∫0 f (t ) e st dt 相应的单边拉普拉斯变 换 1 σ + j∞ f (t ) = F ( s ) e st ds ∫ 2πj σ j∞

∞

√0 系统： F ( s ) = ∫ f (t ) e dt, f (t ) = 1 ∫σσ F ( s ) e ds 系统：∞ st + j∞ st

0 系统： F ( s ) = ∞ f (t ) e st dt ∫0 +系统：+

0

2πj

j∞

拉普拉斯变换

2、拉氏变换考虑了初始条件 、L [ f (t ) ] = ∫0 f (t ) e dt = f (t ) e = sF ( s ) f ( 0 )' ∞ ' st st ∞ 0

∫0 [ sf (t ) e st ]dt∞

若初始有跳变，则 L[ f ' (t ) ] = sF ( s ) f (0 ),计入了 若初始有跳变， 初始条件的作用。 初始条件的作用。 P 算子符号法中，未能表 示出初始条件的作用， 算子符号法中， 示出初始条件的作用， 一些规定， 只好在运算过程中作出 一些规定，限制某些因 子 相消。 相消。

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3、拉氏变换与傅氏变换的关系 、 傅里叶变换建立了时域与频域之间的关系；拉 傅里叶变换建立了时域与频域之间的关系； 普拉斯变换建立了时域与复频域之间的关系。 普拉斯变换建立了时域与复频域之间的关系。 FT :实频率 ω , ω 是振荡频率 是振荡频率， LT :复频率 s, s是振荡频率， 而 σ 表示振荡幅度的增长或 衰减速度。 衰减速度。 …… 此处隐藏：3060字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……