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利用导数判断函数的单调性

得分

一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)

1.函数y=x2cosx的导数为 【 】 A. y′=2xcosx－x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx－2xsinx D. y′=xcosx－x2sinx

2.下列结论中正确的是 【 】 A. 导数为零的点一定是极值点 【 】 B. 如果在x0附近的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) 0，那么f(x0)是极大值 C. 如果在

x0

附近的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) 0，那么f(x0)

是极小值

D. 如果在x0附近的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) 0，那么f(x0)是极大值 3. 曲线y cosx(0 x

3

2)与坐标轴围成的面积是 【 】 A.4 B. 5

2

C.3 D.2

4.函数f(x) 3x 4x3

，x [0,1]的最大值是 【 】 A.1 B.

1

2

C.0 D.-1 5. 如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置

6cm处，则克服弹力所做的功为 【 】 A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J 6. 给出以下命题：⑴若

ba

f(x)dx 0，则f(x)>0； ⑵

2 0

sin 4;⑶f(x)的原函数为

F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则

a0

f(x)dx

a TT

f(x)dx；其中正确命题的个数为 【 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

7. 若函数f(x) x3

x2

mx 1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 【 】 A. (1, ) B. ( ,1) C. [1, ) D. ( ,13333

]

8.设0<a<b，且f (x)＝1 x

x

，则下列大小关系式成立的是 【 】.A.f (a)< f (

a b2)<f (ab) B. f (a b

2)<f (b)< f (ab) C. f (ab)< f (a ba b

2)<f (a) D. f (b)< f (2

)<f (ab)

】

2

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9. 函数f(x) ax b在区间( ,0)内是减函数，则a,b应满足 【 】 Ａ．a 0且b 0

Ｂ．a 0且b R

Ｃ．a 0且b 0

Ｄ．a 0且b R

10. f(x)与g(x)是R定义在上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满足f (x) g (x)，则f(x)与g(x)满足 【 】 Ａ．f(x) g(x) Ｂ．f(x) g(x)

为常数函数

Ｃ．f(x) g(x) 0 Ｄ．f(x) g(x)为常数函数

11. (2007江苏)已知二次函数f(x) ax bx c的导数为f (x)，f (0) 0，对于任意实数x，有

2

f(x)≥0，则

Ａ．3

f(1)

的最小值为 【 】 f (0)

Ｂ．

5 2

Ｃ．2 Ｄ．

3 2

12. (2007江西理)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y f(x)在x 5处的切线的斜率为（ ） Ａ．

1

5

Ｂ．0

Ｃ．

1 5

Ｄ．5

二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分) 13．10.曲线y=2x3－3x2共有____个极值. 14．已知f(x)为一次函数，且f(x) x 2

1x

10

f(t)dt，则f(x)=_______..

15. 若f(x) e，则lim

t 0

f(1 2t) f(1)

___________.

t

2

16. 已知函数f(x) x ax bx c在x 2处取得极值，并且它的图象与直线y 3x 3在点（1，0）处相切，则函数f(x)的表达式为 __ __m.

2

3

三、解答题（共74分）

17．（本小题满分10分）一物体沿直线以速度v(t) 2t 3（t的单位为:秒,v的单位为:米/秒）的速度

作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?

18. （本小题满分12分）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,

⑴求P0的坐标; ⑵若直线 l l1 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.

19. （本小题满分12分）已知函数f(x) ax (a 1)x 48(a 2)x b的图象关于原点成中心对称, 试判断f(x)在区间 4,4 上的单调性,并证明你的结论.

20．（本小题满分14分）已知函数f(x) lnx(x 0),函数g(x)

3

2

1

af (x)(x 0) f (x)

⑴当x 0时,求函数y g(x)的表达式;

⑵若a 0,函数y g(x)在(0, )上的最小值是2 ,求a的值; ⑶在⑵的条件下,求直线y

27

x 与函数y g(x)的图象所围成图形的面积. 36

21．（本小题满分12分）设a≥0，f(x) x 1 ln2x 2alnx(x 0)． （Ⅰ）令F(x) xf (x)，讨论F(x)在(0， ∞)内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x 1时，恒有x ln2x 2alnx 1． 22．（本小题满分14分） 已知函数f(x) e kx，x R

（Ⅰ）若k e，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k 0，且对于任意x R，f(x) 0恒成立，试确定实数k的取值范围； （Ⅲ）设函数F(x) f(x) f( x)，求证：F(1)F(2) F(n) (e

n 1

x

2)(n N )．

n

2

答案

一、选择题（60分）

1－5：ABCAD 6－10：BCD B B 11—12：C B

二、填空题（16分）

13. 2 14.f(x) x 1 15.

232

（或 2e 1） 16、f(x) x x 8x 6 e

三、解答题（共74分） 17.解:∵当0≤t≤

33

时,v(t) 2t 3≤0; 当≤t≤5时,v(t) 2t 3≥0. 22

5

∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程

9929

S (3 2t)dx 3(2t 3)dx= (10 ) (米)

4422

3

20

18.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，

由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4. 又∵点P0在第三象限,

∴切点P0的坐标为 (－1,－4).

⑵∵直线l l1,l1的斜率为4,∴直线l的斜率为 ∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l的方程为y 4

1, 4

1

(x 1)即x 4y 17 0. 4

19. 解: 答f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称, 则f(x)是奇函数,所以a=1,b=0,于是f(x)=x 48x.

3

f (x) 3x2 48,∴当x ( 4,4) f (x) 0

又∵函数f(x)在 4,4 上连续 所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.

20.解:⑴∵f(x) lnx,

∴当x 0时,f(x) lnx; 当x 0时,f(x) ln( x)

111; 当x 0时,f (x) ( 1) . x xx

a

∴当x 0时,函数y g(x) x .

xa

⑵∵由⑴知当x 0时,g(x) x ,

x

∴当x 0时,f (x)

∴当a 0,x 0时

, g(x)≥

x .

∴函数y g(x)在(0,

)上的最小值是

∴依题意得 2∴a 1.

273 y x x x2 21 362

, ⑶由 解得 5 y2 y x 1 y 13 21

6x

∴直线y

27

x 与函数y g(x)的图象所围成图形的面积 36

2 271 7

S 3 (x ) (x ) dx= ln3

6x 242 3

21. 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有f (x) 1

2lnx2a

，x 0， xx

故F(x) xf (x) x 2lnx 2a，x 0， 于是F (x) 1 列表如下：

2x 2

，x 0， xx

故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2， ∞)内是增函数，所以，在x 2处取得极小值

F(2) 2 2l n2a．2

（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2) 2 2ln2 2a 0． 于是由上表知，对一切x (0， ∞)，恒有F(x) xf (x) 0． 从而当x 0时，恒有f (x) 0，故f(x)在(0， ∞)内单调增加． 所以当x 1时，f(x) f(1) 0，即x 1 lnx 2alnx 0． 故当x 1时，恒有x lnx 2alnx 1．

22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）由k e得f(x) e ex，所以f (x) e e．

由f (x) 0得x 1，故f(x)的单调递增区间是(1， )， 由f (x) 0得x 1，故f(x)的单调递减区间是( ，1)． （Ⅱ）由f( x) f(x)可知f(x)是偶函数．

于是f(x) 0对任意x R成立等价于f(x) 0对任意x≥0成立．

x

2

2

x

由f (x) e k 0得x lnk．

①当k (0，1]时，f (x) ex k 1 k≥0(x 0)． 此时f(x)在[0， )上单调递增． 故f(x)≥f(0) 1 0，符合题意． ②当k (1， )时，lnk 0．

当x变化时f (x)，f(x)的变化情况如下表：

x

由此可得，在[0， )上，f(x)≥f(lnk) k klnk． 依题意，k klnk 0，又k 1， 1 k e． 综合①，②得，实数k的取值范围是0 k e． （Ⅲ） F(x) f(x) f( x) e e，

x

x

F(x1)F(x2) ex1 x2 e (x1 x2) ex1 x2 e x1 x2 ex1 x2 e (x1 x2) 2 ex1 x2 2， F(1)F(n) en 1 2， F(2)F(n 1) en 1 2

F(n)F(1) en 1 2.

由此得，[F(1)F(2) F(n)] [F(1)F(n)][F(2)F(n 1)] [F(n)F(1)] (e故F(1)F(2) F(n) (e

n 1

2

n 1

2)n

2)，n N ．

n2

数学科学段测试（导数部分）

一、选择题（12小题，共36分）

1、设曲线y x2 x 2在点M处切线斜率为3，则点M的坐标为 ( ) A、（0，－2） B、（1，0） C、（0，0） D、（1，1）

11

）的切线的倾斜角是 （ ） 24

A、30° B、45° C、60° D、90°

3、将半径为R的球加热，若球的半径增加 R，则球体积的平均变化率为（ ）

44232

A、4 R2 R 4 R R R B、4 R2 4 R R R

33

22

C、4 R R D 、4 R 4、函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为 （ ） A、2 B、－2 C、0 D、－4

5、设函数f x 的导函数为f x ，且f x x2 2x f 1 ，则f 0 等于 ( )

A、0 B、 4 C、 2 D、2

18

6、已知曲线y x3在点P(2,)，则过P点的切线方程为 （ ）

33

A、3x 12y 16 0 B、12x 3y 16 0 C、3x 12y 16 0 D、12x 3y 16 0

7、已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A、－1<a<2 B、－3<a<6 C、a<－1或a>2 D、a<－3或a>6

8、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f (x)可能为 （ ）

A C D B

9、设函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2 k2＋1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是 （ ）

1111

A、k B、0 k C、0 k D、k

3333

10、函数y xlnx的单调递减区间是 （ ）

2、抛物线y=x2在点M（

A、（e 1，+∞） B、（－∞，e 1） C、（0，e 1） D、（e，+∞） 11、方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 12、对于R上可导的任意函数f（x），且f'(1) 0若满足（x－1）f （x）>0，则必有 （ ）

A、f（0）＋f（2） 2f（1） B、f（0）＋f（2） 2f（1） C、f（0）＋f（2）>2f（1） D、f（0）＋f（2） 2f（1） 二、填空题（4小题，共16分） 13、【文】已知函数y x3 3x，则它的单调递增区间是

13、【理】计算定积分： 2(x sinx)dx＝ 。

14、已知函数y lnsinx和y a2x的导函数分别是

15、【文】一质点在直线上从时刻t=0秒以速度v(t) t2 4t 3（米/秒）运动，则该质点在时

刻t=3秒时运动的路程为 。 15、【理】函数y cosx,x [0,]与坐标轴围成的图像绕x旋转一周所得旋转体的体积

2

是 。 16、【文】已知曲线y x3 3x2 6x 10上一点P，则过曲线上P点的所有切线方程中，斜率

最小的切线方程是 。 16、【理】曲线S：y=3x-x3的过点A（2，-2）的切线的方程是 。 三、解答题（4小题，共10＋14＋12＋12＝48分）

1

17、【文】求曲线y 和y x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积。

x

17、【理】已知一物体运动的速度为v(t) 2t 1，求物体在t [0,8]内运动的路程。

18、已知f(x) x3 3ax2 bx a2(a

1)0。

（1）求常数 a,b的值； （2

（3）方程f(x) c在区间[-4,0]c的范围。

19、请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少体积最大？

【注：V柱体 S底 h, V锥体 S底 h】

13

的正六棱图所示）。时，帐篷的

20、定义在定义域D内的函数y f(x)，若对任意的x1, x2 D都有|f(x1) f(x2)| 1，

则称函数y f(x)为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”.试问函数f(x) x3 x a(x [ 1,1],a R)是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.

莆田四中高二上数学科学段测试（导数部分）参考答案

1——12：BBBBB； BDDDC；CC 13：【文】( , 1)和(1, )、【理】 815：【文】0米、【理】

2

1； 14：y cotx, y 2alna；

x

2

4

；16：【文】3x y 11 0、【理】y=-9x+16或y=-2。

217、【文】解：曲线y 1和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2y xx

和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是

8

3

。 10分 4

17、【理】解：因为S'(t) (t2 t)'，所以S (2t 1)dt

S(8) S(0) 72。 10分

18分

4分

（2

10分

（3）因为f( 4) 0, f( 3) 由数形结合可得0 c 4。 14分

19、解：设正六棱锥的高为x m,（单位：m）。

2分

32

x。 于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：S 642

4分

帐篷的体积为（单位：m3）：

V(x)

1

x2) x 1 x2)(3 x) x3 3x2 9x 27)(1 x 3) 3 8分

2

x 2x 3)； 令V (x) 0解得x=-3(不合题意，舍去),x=1。 10分 当0<x<1时，V (x) 0,V(x)为增函数；当1<x<3时，V (x) 0,V(x)为减函数。 所以当x=1时,V(x)最大。即当OO1为2m时，帐篷的体积最大。 12分

求导数，得V (x)

20、解:因为|f(x1) f(x2)| |fmax fmin|，

函数f(x) x3 x a(x [ 1,1],a R]导数是f (x) 3x2 1 (2分)

33.当0 x 时,f (x) 3x2 1 0;当x 时,f (x) 3x2 1 0,333

232故f(x)在x [0,1]内的极小值是a ;(4分),同理,f(x)在[ 1,0]内的极大值是a ;(2分)

99

因为f(1) f( 1) a,所以函数f(x) x3 x a(x [ 1,1],a R)的最大值是当3x2 1 0时,即x a

22342

,最小值是a ,故|f(x1) f(x2)| |fmax fmin| 1, (2分)999

所以函数f(x) x3 x a(x [ 1,1],a R)是“妈祖函数”.（2分）