《概率论与数理统计》第4章作业题

4-2某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1,就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)。(设各产品是否为次品是相互独立的)解先求检验一次，决定需要调整设备的概率p。设抽检出次品数为Y,则Y~ B(10, 0.1),所以

p P{Y 1} 1 P{Y 0} P{Y 1} 1 (0.9)10 C1 (0.9)9 0.1 0.2639, 10

第四章

又因为各产品是否为次品相互独立，故 X~ B(4, 0.2639),所以X的分布律为

X pk

0

1

2

3

4p4

(1 p) 4 4 p(1 p)3 6 p 2 (1 p) 2 4 p 3 (1 p)

所以 E (X ) 1 4 p(1 p)3 2 6 p 2 (1 p) 2

3 4 p 3 (1 p) 4 p 4

4 p 4 0.2639 1.0556.

第四章

4-7 (1)设随机变量X的概率密度函数为

x, x 0, e f ( x) 0, x 0. 2 x求(1)Y 2X; (2) Y e的数学期望。

第四章

解

E (Y ) 2 xf ( x)dx 2 xe x dx 0

2 xeE (Y ) E (e

x

2e

x

0

2 x

2 x

2 X

) 0

0

e

e dx

0

e

3 x

dx

1 3 x e 3

|

1 . 3

第四章

4-12某车间生产的圆盘直径在区间(a,b)内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解设圆盘直径为X,即X的概率密度函数为 1 , a x b; f X ( x) b a 0,其它

圆盘面积 A 1 X 24

的数学期望为

第四章

b1 1 1 2 2 dx E X x a 4 b a 4

12(b a)

x

3

|

b a

12

(b 2 ab a 2 )

第四章

4-22 (1)设随机变量X1, X2, X3, X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4.设Y=

2X1-X2+X3-X4.求E(Y),D(Y).(2)设随机变量X,Y相互独立，且

X~N(720,302),Y~N(640,252),求Z1=2X+Y, Z2=X-Y的分布，并求概率P{X>Y},P{X+Y>1400}.

第四章

由数学期望的性质知，1 E(Y) E(2X1 - X 2 3X 3 - X 4 ) 2 1 2E(X1 ) - E(X) 2 3E(X 3 ) - E(X 4 ) 2 1 2 1 - 2 3 3 - 4 7 2又因为 X1, X 2, X3, X 4,相互独立，则由方差的性质知 1 D(Y) D(2X1 - X 2 3X 3 - X 4 ) 4D(X1 ) D(X2 ) 2 1 9D(X3 ) D(X4 ) 37.25 4第四章

(2)设随机变量X,Y相互独立，且X~N(720,302), Y~N(640, 252)。求 Z1=2 X+Y, Z2=X -Y,的分布，并求概率P{X>Y}, P{X+Y>1400}解根据正态随机变量的保形性，

E ( Z1 ) 2E ( X ) E (Y ) 2080,

4225 652, D( Z1 ) 4D( X ) D(Y )

Z1~ N (2080, 652),

第四章

设随机变量X,Y相互独立，且 X~N(720, 302), Y~N(640, 252)。求 Z1=2 X+Y, Z2=X -Y,的分布，并求概率 P{X>Y}, P{X+Y>1400} Z1~ N (2080, 652),同理 Z 2~ N (80, 1525),

P{ X Y} P{X Y 0} P{Z 2

0} 80 1 P{Z 2 0} 1 Φ 1525 Φ 2.04 0.9793,

第四章

Z Z1~ N (2080, 652), 2~ N (80, 1525),

P{X Y} 0.9793, X Y~ N (1360, 1525), P{X Y 1400} 1 P{X Y 1400}

1400 1360 1 Φ 1525

1 Φ(1.024)

0.1539.

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4-23 5家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1、 X2、 X3、X4、 X5,已知X1~N(200, 225), X2~N(240, 240), X3~N(180, 225), X4~N(260, 265), X5~N(320, 270), X1、 X2、 X3、X4、X5相互独立 (1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差 (2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99,问商店的仓库应至少存储多少公斤该产品。

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解以Y记5家商店该种产品的总销售量，

即 Y X1 X 2 X 3 X 4 X 5,(1)按题设，因为X1、 X2、 X3、X4、X5都服从正态发布，所以

E (Y ) E ( X i ) 200 240 180 260 320 1200, D(Y ) D( X i ) 225 240 225 265 2705 i 1

5

35, Y~ N (1200, 352),2

i 1

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(2)设仓库应至少存储n公斤该产品，才能使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99,则n应满足条件

P{Y n} 0.99,

Y~ N (1200, 352),所以应有

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Y 1200 n 1200 P{Y n} P 35 35

n 1200 0.99 Φ(2.33), Φ 35 n 1200即 2.33, 35即需取n=1282公斤。

n 1281.55

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4-32设随机变量(X,Y)具有概率密度

1 ( x y ), 0 x 2,0 y 2, f ( x, y ) 8 0,其它 求 E( X ),E(Y ),Cov( X, Y ), XY,D( X Y ).解2 x E (X ) xf ( x, y)dxdy dx ( x y)dy 0 8 0 2 x 2 x 1 2 2 7 ( xy y ) dx ( x 1)dx , 0 8 0 4 0 2 6 2

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