贵州省织金县第一中学

数学组

观察做出的两个函数图象并思考以下问题： (1)这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？ yy

o

x

f ( x) x

o

2

x

f ( x) x

xf ( x) x 2

-3 -2 9 4

-1 1

0 0 0 0

1 1 1 1

2 4 2 2

3 9 3 3数学组

xf ( x) x

-3 -2 -1 3 2 1

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对函数f(x)=x2,当我们在定义域内任取一对相反数x和 -x时，所对应的函数值什么关系？

= 猜想 : f(-x) ____ f(x)(-x,f(-x))思考：能用函数解析式给出证 明吗？

y(x,f(x))

-x

0

x

x

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数学组

3.讨论归纳，形成定义偶函数： 一般地，如果对 于函数f(x)的定义域内任 意一个x,都有f(-x) =f(x),那么函数f(x)就 叫做偶函数. 偶函数 注意： 函数的图象关于y轴对称

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数学组

观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？y y

12

x

-1

1

x

f ( x) x x ( ,1]

f ( x) x 2 x ( , 1] [1, )

思考： 如果一个函数的图象关于y轴对称， 它的定义域应该有什么特点？ 定义域关于原点对称.贵州省织金县第一中学 数学组

观察思考(1)函数f ( x) x

与函数

f ( x)

1 x

图象有什么共同特征吗？

(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？y 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3

f ( x) x

y

f ( x) -x0 O 1 2 3 x x0

1 xx

f(-x)与f(x)有怎样的关系?

实际上，对于定义 域内任意的一个x, 都有f(-x)=-f(x), 这时我们称这样的 函数为奇函数.数学组

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3.讨论归纳，形成定义 偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.奇函数： 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函 数. 注意：

图象关于原点对称

奇函数

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数学组

观察下面函数图像，看是奇函数吗？y y

-2

o

-22x

o

3 x

f ( x) x, x [ 2,2]

f ( x) x, x 2,3

思考： 如果一个函数的图象关于原点对称， 它的定义域应该有什么特点？ 定义域关于原点对称.贵州省织金县第一中学 数学组

4.强化定义，深化内涵

☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1)函数若是奇函数或者偶函数：定义域关于原点对称。 对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个 自变量 [-b,-a] o [a ,b] x

(2)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函 数f(x)具有奇偶性.既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非 奇非偶函数. (3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，

即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。

若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。贵州省织金县第一中学 数学组

5.讲练结合，巩固新知

例1、判断下列函数的奇偶性： 4 5 (1) f ( x) x (2) f ( x) x

1 (3) f ( x) x x

1 (4) f ( x) 2 x

1 1 解： (4) 对于函数 f f(x)=x+ ( x) 2 , 其定义域为 { x 解： (3 )对于函数 , 其定义域为 { x|| x x 0} x x 因为对于定义域内的每一个 x, 都有 因为对定义域内的每一个x,都有 1 1 11 f ( x) =-(x+ )=-f(x) f ( x) f(-x)=-x+ 2 2 -x( x) x x 所以，函数f(x)为奇函数 1 所以，函数f ( x ) 2 为偶函数. x 贵州省织金县第一中学 数学组

判断或证明函数奇偶性的基本步骤：一看 二找 三判断

看定义域

找关系

下结论

是否关于原点对称

f(x)与f(-x)

奇或偶

注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否 关于y轴对称或者关于原点对称。贵州省织金县第一中学 数学组

练习

判断下面函数的奇偶性(1) f(x)=2x4+3x2(3) f(x)=

(2)

f(x)=x3+2x

x

(4) f(x)=0

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(3) f(x)=

x

(4)f(x)=0 解: 定义域为R ∵ f(-x) = 00 o

y

解:定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于 原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数

x

=f(x)又 f(-x)=0 = - f(x) ∴f(x)为既是奇函数又是偶函数

思考：f(x)=0 定义域[-2,2]也既是奇函数又是偶函数吗？

说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称),既是奇函数又是偶 函数。贵州省织金县第一中学 数学组

总结： 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 奇函数

偶函数既是奇函数又是偶函数

非奇非偶函数

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数学组

例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴 右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边 的图象.

y

O贵州省织金县第一中学

x数学组

例2、 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴 右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边 的图象. y 解:

O贵州省织金县第一中学

x数学组