弹 性 力 学 简 明 教 程 (第四版)

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

x

M

图2-17

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

l

上（y=0）

0 -1

左(x=0) -1 0

右（x=b）

1 0

m

fx s f

y

g y h1

g y h1

s

gh1

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

x x 0 g(y h1), xy x 0 0; x x b g(y h1), xy x b 0;

②在小边界y 0上，能精确满足下列应力边界条件：

y

y 0

gh, xy

y 0

0

③在小边界y h2上，能精确满足下列位移边界条件：

u y h

2

0, v y h 0

2

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 =1时，可求得固定端约束反力分别为：

Fs 0,FN ghb1,M 0

由于y h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

b dx gh1b 0yy h2 b

0 y y h2xdx 0

b

dx 0 0xyy h2

⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

0 0

m

-1 1

fx(s)

0 -q1

fy(s)

q

y

h 2hy

2

( y)y -h/2 q，( yx)y -h/2 0，( y)y h/2 0，( yx)y h/2 q1 ②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有

h/2( )dx F

S

h/2xyx 0 h/2

h/2( x)x 0dx FN h/2 ( )ydx M h/2xx 0

③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux l 0,vx l 0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

F F

y

x

q1l FN q1l FN 0,FN FN

M

0,FS FS ql 0 FS ql FS

q1lh121ql2

MA 0,M M' FSl 2ql 2q1lh 0 M 2 M FSl 2

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

h/2( )dy F ql F

N1N

h/2xx l q1lhql2 h/2

M FSl h/2( x)x lydy M 22

h/2( )dy F ql F

xyx lSS

h/2

【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？

【解答】由于h l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

x

(a)上端面OA面上面力x 0,y q

b

由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

bbxqb b

dx dx qdx 0y 0b 0 y y 0

2

bbx bqb2 b

0 y y 0xdx 0yxdx 0q x dx

b 212(对OA中点取矩)

b

0 yx y 0dx 0

qb2

qb212

图2-19

(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则

qb b

dx F N 0 y y 0

2

qb2 b

0 y y 0xdx M 12

b dx 0 0 xy y 0

综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

y

图2-20 图2-21

y2

（a）图2-20，sx=2q， y xy 0。

b

【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fx fy 0

x yx y xy

0 0 显然满足 x y y x

（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

2 2 2q

等式左= 2 2 x y =2 0=右

b x y

应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。

MFsS*y， xy (取梁的厚度b=1)，（b）图2-21，由材料力学公式， x IbI

x3y3qx222

得出所示问题的解答: x 2q3， xy -(h 4y)。又根据平衡微分3

lh4lh3qxyxy3qx

方程和边界条件得出： y 。试导出上述公式，并检验解 2q3

2lhlh2l答的正确性。

【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，

h3

其对中性轴（Z轴）的惯性矩I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和

12q3qx2

剪力方程M(x) x,F x 。

6l2l

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

M x x3y x y 2q3

Ilh

xy

3Fs x 4y2 3qx22

1 2 .3 h 4y2 。 2bh h 4lh

根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

y y

xy x

0

3qxyxy3

. 2q3 A 得： y

2lhlh

根据边界条件

y

y h/2

0

qx

2l

得 A .

3qxyxy3qx

q3 故 y . 2

2lhlh2l

将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：

x2yx2y

左 6q.3 6q3 0 右 满足

lhlh

第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）

2 2 xyxy

左 2 2 x y 12q.3 12q.3 0 右

y lhlh x

应力分量不满足相容方程。

故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力 y 0，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。

【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M(x) Fx，横截面对中性轴

的惯性矩为Iz h3/12，根据材料力学公式

弯应力 x

M(x)12F

y 3xy； Izh

该截面上的剪力为Fs x F，剪应力为

Fs(x)S* F6F h2 h h/2 y 2 xy y b y y 3 3 bIz22h41 h/12

取挤压应力 y 0

（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 12F12F

第一式：左 2y 3y 0 右

hh

第二式：左=0+0=0=右

该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程

左 2( x y) 0 右 满足相容方程 （4）考察边界条件

①在主要边界y h/2上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l

0 0

m

-1 1

fx

0 0

fy

0 0

hy 上

2 hy 上

2

代入公式（2-15），得

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢

y -h/2

y h/2

y h/2

y h/2

y 0, xy 0; y 0, yx

0

主矩

h/2 ( x)x 0dy 0 x向面力主矢 h/2 h/2

h/2( x)x 0ydy 0 面力主矩 2

h/2 6Fh h/22

( )dy ( y)dy F y向面力主矢 3 h/2xyx 0 h/2 h4

满足应力边界条件

M

③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，FN 0,FS F,M Fl

其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：

12F

lydy 0 FN3 h/2 h/2h

h/2h/122F2

( )ydy lydy Fl Mxx l3 h/2 h/2h

h/2

( x)x ldy

h/2

h/2

h/2

( xy)x ldy

h/2

h

6F h22 y dy F FS

/h23

4

满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

第一章 平面问题的直角坐标解答

【3-4】试考察应力函数 ay3在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数 ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数 代入公式(2-24)，得

y

x 6ay, y 0, xy yx 0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察 x分布情况，注意到 xy 0，故y向无面力 左端:fx ( x)x 0 6ay 0 y h y

xyx 0

0

右端:x x x l 6ay (0 y h) y ( xy) x l0

应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

x

y

fx

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

ppe

( x)A 2 0 e h/6

bhbh/6

同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴ ax2y,⑵ bxy2,⑶ cxy3,试求出O应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。

偏心距e：

y

【解答】（1）由应力函数 ax2y，得应力分量表达式

x 0, y 2ay, xy yx 2ax

(l x m yx)s x(s)

考察边界条件，由公式（2-15）

(m y l xy)s y(s)h

①主要边界，上边界y 上，面力为

2

hh

x(y ) 2ax y(y ) ah

22h

②主要边界，下边界y ，面力为

2hh

x(y ) 2ax, y(y ) ah

22

③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为 x向主矢：Fx

h/2 h/2h/2

( x)x 0dy 0 ( xy)x 0dy 0

y向主矢：Fy 主矩：M

h/2 h/2

h/2

( x)x 0ydy 0

次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为

x向主矢：Fx y向主矢：Fy 主矩：M

h/2 h/2

h/2

h/2h/2

( x)x ldy 0

h/2

( xy)x ldy

h/2

h/2

( 2al)dy 2alh

( x)x lydy 0

弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示 ⑵ bxy2

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x 2bx， y 0， xy yx 2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得

hh h

在y 主要边界，上边界上，面力为x y bh,y y 0

22 2

在y

hh h

，下边界上，面力为x y bh,y y 0 22 2

在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：

在左边界x=0，面力分布为x x 0 0,y x 0 2by 面力的主矢、主矩为 x向主矢：Fx

h

2h 2h2h 2

x x 0dy 0

y向主矢：Fy 主矩；M

h/2

xyx 0

dy

h2h 2

2by x 0dy 0

h/2

( x)x 0ydy 0

在右边界x=l上，面力分布为

x x l 2bl,y x l 2by 面力的主矢、主矩为 x向主矢：Fx

h/2h/2 h/2

h/2

xx l

dy

h/2

h/2h/2

2bldy 2blh

y向主矢：Fy' 主矩：M'

h/2 h/2

xyx l

dy

h/2

h/2

2by dy 0

x x lydy

h/2

2blydy 0

弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示

ah

ah

xy

（3） cxy3

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x 6cxy, y 0, xy yx 3cy2

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15）

h

①上边界y 上，面力为

2

h 3h

x y ch2,y y 0

2 42

h

② 下边界y=上，面力为

2

h 3h

x y ch2,y y 0

2 42

次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：

③左边界x=0上，面力分布为

x x 0 0,y x 0 3cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fx y向主矢：Fy 主矩：M

h/2-h/2

h/2 h/2h/2

x x 0dy 0

h/2 h/2

h/2

xyx 0

dy

ch 3cy dy 1

4

2

3

x x 0ydy 0

x x l 6cly,y x l 3cy2

④右边界x l上，面力分布为

面力的主矢、主矩为 x向主矢Fx

h/2 h/2

x x ldy

h/2

h/2

6clydy 0

ch 3cy dy 14

2

3

y向主矢：Fy

h/2

h/2

yx l

dy

h/2

h/2

13clh 2

弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示

主矩：M

x x lydy 6cly2dy h/2 h/2

h/2h/2

【3-6】试考察应力函数

F

3xy(3h2 4y2)，能满足相容方程，并求出O

2h应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

y

4 4 4

222 4 0，显然满足 4

x x y y

（2）将 错误！未找到引用源。代入式（2-24），得应力分量表达式

12Fxy3F4y2

x , y 0, xy yx (1 2)

h32hh

（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：

hy ，①在主要边界上（上下边界）上，应精确满足应力边界条件式（2-15），

2应力 y y h/2 0, yx y h/2 0

hh h

因此，在主要边界y 上，无任何面力，即x y 0,y y 0

22 2

②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F 4y2

x 0:x 0,y 1-2

2h h

x l:x

12Flyh

3

3F 4y2

,y 1 2

2h h

因此，各边界上的面力分布如图所示：

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1= y向主矢：FS1= 主矩：M1=

h/2-h/2

h/2

h/2h/2

xdy 0, FN2 ydy F, FS2

h/2

h/2h/2

xdy 0ydy Fxydy Fl

h/2 h/2h/2

xydy 0, M2

h/2

因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：

(a) (b)

因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。

qx2y3yqy2y3y

( 43 3 1) (23 )能满足相容方程，并考【3-7】试证 4hh10hh

察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，O

体力不计）。

【解答】(1)将应力函数 代入式（2-25）

y

4 12qy 24qy 4 4 24qy

0，， 2 2 4223343

x x yhh yh

代入（2-25），可知应力函数 满足相容方程。 （2）将 代入公式（2-24），求应力分量表达式:

2 6qx2y4qy33qy

x 2 fxx 3 3

yhh5h

2 q4y33y

y 2 fyy ( 3 1)

x2hh

2 6qxh2

xy yx 3( y2)

x yh4

(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：

h

①在主要边界y （上面），应精确满足应力边界条件（2-15）

2

h h

x y yx 0,y y y q

y h/2y h/222 h

在主要边界y 下面 ，也应该满足 2 15

2

x y h/2 yx 0,y y h/2 y 0

y h/2

y h/2

在次要边界x 0上，分布面力为x x 0 x x 0

3qy4qy3

3,y x 0 xy 0

x 05hh

应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

FN FS M

h/2

h/2h/2

3qy4qy3

xdy 3 dy 0

h/25hh

h/2

h/2h/2

fydy 0

3qy4qy3

fxydy 3 ydy 0

h/25hh

h/2

h/2

④在次要边界x l上，分布面力为

x x l x x l

6ql2y4qy33qy 3 3

hh5h

y x l xy

x l

6ql h2

3 y2

h 4

应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

6ql2y4qy33qy

f(x l)dy 3 3 dy 0 h/2x h/2hh5h

2

h/2h/2 6ql h Fs y(x l)dy 3 y2 dy ql

h/2 h/2

h 4

h/2h/2 6ql2y4qy33qy 12

M' x(x l)ydy 3 3 ydy ql h/2 h/2hh5h2 FN

h/2

h/2

综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图

q

2

(a) (b)

因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。 【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。

【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力 y主要与截面的弯矩有关，剪应力

图3-10

xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力 x主要与横向荷载有关，本题横向荷载

为零，则 x 0

(2)推求应力函数的形式

将 x 0，体力fx 0,fy g，代入公式（2-24）有

2

x 2 fxx 0

y

对y积分，得

f x （a） y

yf x f1 x （b）

其中f x ,f1 x 都是x的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。 将（b）式代入相容方程（2-25），得

d4f x d4f1 x

y 0 （c） 44

dxdx

在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即

d4f x d4f1 x 0, 0 dx4dx

两个方程要求

f x Ax3 Bx2 Cx,f1 x Dx3 Ex2 （d）

f x 中的常数项，f1 x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在 的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数

y Ax3 Bx2 Cx Dx3 Ex2 （e）

（4）由应力函数求应力分量

2

x 2 fxx 0 （f）

y