弹 性 力 学 简 明 教 程 (第四版)

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

x

M

图2-17

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

l

上（y=0）

0 -1

左(x=0) -1 0

右（x=b）

1 0

m

fx s f

y

g y h1

g y h1

s

gh1

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

x x 0 g(y h1), xy x 0 0; x x b g(y h1), xy x b 0;

②在小边界y 0上，能精确满足下列应力边界条件：

y

y 0

gh, xy

y 0

0

③在小边界y h2上，能精确满足下列位移边界条件：

u y h

2

0, v y h 0

2

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 =1时，可求得固定端约束反力分别为：

Fs 0,FN ghb1,M 0

由于y h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

b dx gh1b 0yy h2 b

0 y y h2xdx 0

b

dx 0 0xyy h2

⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

0 0

m

-1 1

fx(s)

0 -q1

fy(s)

q

y

h 2hy

2

( y)y -h/2 q，( yx)y -h/2 0，( y)y h/2 0，( yx)y h/2 q1 ②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有

h/2( )dx F

S

h/2xyx 0 h/2

h/2( x)x 0dx FN h/2 ( )ydx M h/2xx 0

③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件ux l 0,vx l 0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

F F

y

x

q1l FN q1l FN 0,FN FN

M

0,FS FS ql 0 FS ql FS

q1lh121ql2

MA 0,M M' FSl 2ql 2q1lh 0 M 2 M FSl 2

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

h/2( )dy F ql F

N1N

h/2xx l q1lhql2 h/2

M FSl h/2( x)x lydy M 22

h/2( )dy F ql F

xyx lSS

h/2

【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？

【解答】由于h l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

x

(a)上端面OA面上面力x 0,y q

b

由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

bbxqb b

dx dx qdx 0y 0b 0 y y 0

2

bbx bqb2 b

0 y y 0xdx 0yxdx 0q x dx

b 212(对OA中点取矩)

b

0 yx y 0dx 0

qb2

qb212

图2-19

(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则

qb b

dx F N 0 y y 0

2

qb2 b

0 y y 0xdx M 12

b dx 0 0 xy y 0

综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

y

图2-20 图2-21

y2

（a）图2-20，sx=2q， y xy 0。

b

【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fx fy 0

x yx y xy

0 0 显然满足 x y y x

（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

2 2 2q

等式左= 2 2 x y =2 0=右

b x y

应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。

MFsS*y， xy (取梁的厚度b=1)，（b）图2-21，由材料力学公式， x IbI

x3y3qx222

得出所示问题的解答: x 2q3， xy -(h 4y)。又根据平衡微分3

lh4lh3qxyxy3qx

方程和边界条件得出： y 。试导出上述公式，并检验解 2q3

2lhlh2l答的正确性。

【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，

h3

其对中性轴（Z轴）的惯性矩I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和

12q3qx2

剪力方程M(x) x,F x 。

6l2l

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

M x x3y x y 2q3

Ilh

xy

3Fs x 4y2 3qx22

1 2 .3 h 4y2 。 2bh h 4lh

根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

y y

xy x

0

3qxyxy3

. 2q3 A 得： y

2lhlh

根据边界条件

y

y h/2

0

qx

2l

得 A .

3qxyxy3qx

q3 故 y . 2

2lhlh2l

将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：

x2yx2y

左 6q.3 6q3 0 右 满足

lhlh

第二式 自然满足 将应力分量代入相 …… 此处隐藏：5899字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……