北师大版八年级数学下第一章三角形的证明

1.1.4 等腰三角形

学习目标 1、探索一个三角形成为等边三角形的条件 并证明正确性 2、探究有30°角的直角三角形的性质及推 理过程 3、运用所学知识进行相关的证明和计算

自学指导 阅读课本10-12页，回答问题： (1)一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ (2)一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？ (3)用两个含30°角的全等的三角尺，能拼出一个怎样 的三角形？ 请回答上述问题并证明你的结论吗？把你的证明思路与同 伴进行交流。 总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么他 所对的直角边与斜边的数量关系是？ (4)阅读例题体会运用知识并解决随堂练习和习题1

我能行

1

命题的证明A

定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.

已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600. 求证:△ABC是等边三角形.

证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知), ∴∠C=∠B=600.(等边对等角) B 600 C 0 ∴∠A=60 (三角形内角和定理) ∴∠A=∠B(等式性质). ∴ AC=CB(等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质). ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).

回顾反思 1

几何的三种语言A

定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.

在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). 600 ∴△ABC是等边三角形 B (有一个角是600的等腰三角形是等 边三角形).

C

这又是一个判定等边三角形的根据之一驶向胜利 的彼岸

我能行

2

命题的证明A

定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形.

证明:∵∠A=∠B (已知), ∴ BC=AC,(等角对等边). B C 又∵∠B=∠C(已知), ∴ AB=AC,(等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质). ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义)驶向胜利 的彼岸

回顾反思 2

几何的三种语言A

定理:三个角都相等的三角形是等边三角形

′

在△ABC中, ∵∠A=∠B=∠C(已知), B ∴△ABC是等边三角形(三个角都相 等的三角形是等边三角形).

C

我能行

3

命题的猜想300

1 操作:用两个含有300角的三角尺，

300

你能拼成一个怎样的三角形？300 300 300

300

能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. 由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的 直角边与斜边有怎样的大小关系？300

结论:在直角三角形中, 300角所对的直角 边等于斜边的一半.能证明你的结论吗？驶向胜 利的彼 岸

我能行

4

命题的证明0

定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, A 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图1 ,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300 30 求证:BC= 2 AB.B C D

分析：突破如何证明“

线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 延长BC至D,使CD=BC,连接AD驶向胜 利的彼 岸

A

证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD 300 ∵ ∠ACB=900, (已知), ∴∠ACD=900(平角意义) B C D 在△ABC与△ADC中 ∵BC=DC(作图) ∠ACB=∠ACD(已证) AC=AC(公共边) ∴△ABC≌△ADC(SAS) ∴ AD=AB ∵∠ACB=900,∠A=300(已知), ∴∠B=600(直角三角形两锐角互余). ∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形 是等边三角形) 1 1 ∴BC= BD= AB(等式性质).2

2

回顾反思 3

几何的三种语言

定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300. 1 ∴BC= 2 AB.(在直角三角形中,

B300

300角所对的直角边等于斜边的一 A 半).

C

推论：

BC : AC : AB 1 : 3 : 2驶向胜利 的彼岸

例题欣赏 1

学无止境2a A

例 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. D 求:腰上的高.2a150

B

150

C

解:∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一 个外角, 1等于和不相邻的两内角的和). ∴CD= 2 AC=a(在直角三角形中, 如果有一个 锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的 一半).驶向胜 利的彼 岸

探索腰AB与底BC的关系？A

B

300D

300

C

BC 3 AB

随堂练习2

含300角的直角三角形

1.已知:如图, 在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=AB/4.C

你能规范地写出证明过程吗？′B

你的证题能力有所提高吗?

D

300

A

驶向胜 利的彼 岸

1.已知：如图，在△ABC中,高线BD和CE相交于H,∠BHC=120°,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。A E?

3

H1

D C

120°

B

CH=2 CE=5 BH=6 BD=7

2.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q, (1)求∠BPD的度数 60°AP

(2)求证:BP=2PQE Q

B

D

C