合肥168中学2011年自主招生数学试题(含答案)

答案

一、选择题

3、已知：y=1/2(x的平方-100x+196+|x的平方-100x+196|),当x=1，2，到100，求这100个自然数的和的函数值

解法一：对于函数x^2-100x+196，它可因式分解为(x-2)(x-98)，所以当x=2 x=98

时，这个函数为0

当2<x<98时，这个函数的x轴的下面，而对于|x的平方-100x+196|，它在x轴

的上面，且两者离x轴的距离都相等。

所以当x=2、3、、4、……、98时，y都为0

当x=0时，y=1/2*(196+196)=196

该函数的抛物线为x=50，所以x=1和x=99的值相等，当x=1时，

y=1^2-100+196=97

所以这100个自然数的值为 196+97*2=390

解法二：当2≤x≤98时，因为 x^2-100x+196=(x-2)*(x-98)≤0，

所以恒有 y=[x^2-100x+196-(x^2-100x+196)]/2=0,

当x=1,99,100时，y=[x^2-100x+196+(x^2-100x+196)]/2=x^2-100x+196。

y(1)=y(99)=97，y(100)=196。

所以：y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+……+y(97)+y(98)+y(99)+y(100)

=97+0+0+0+……+0+0+97+196=390。

5、设 a平方+1=3a，b平方+1=3b,且a不等于b，则代数式1/a平方+1/b平方的值是

解：a²＋1=3a，b²＋1=3b，则：a、b是方程x²＋1=3x即x²－3x＋1=0的两个

根，则：

a＋b=3且ab=1

1/a²＋1/b²=[a²＋b²]/(ab)²=[(a＋b)²－2ab]/(ab)²=7

6、如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向

从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了

（ ）

解：小球周长和三角形边长相等，因此在每条边转动了360°（即转1圈）

三条边一共 3圈。

每经过一个顶点，需要转120°： 180-60=120°

三个顶点一共多转了120*3=360°，即1圈

因此，一共转了4圈，(或者1440°)

7、如图，等边△ABC的边长为10cm,以AB为直径的⊙O分别于,CA,CB于

DE两点，则图中阴影部分的面积为

解：解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=60°

又∵AB是⊙O的直径，

∴AO=AD=DO=BO=BE=EO=1/2AB=5

∴∠DOE=60°

∴S⊿ADO+S⊿BEO=2×(1/2)×5×(5/2)√3=(25/2)√3

S扇形ODE=（60°/360°)×π×5²=（25/6)π

又∵S⊿ABC=（1/2）×10×5√3=25√3

∴阴影部分的面积为：S⊿ABC－S⊿ADO－S⊿BEO－S扇形ODE

=25√3-（25/2)√3－（25/6)π

=（25/2)√3－（25/6)π

8、如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D点的任一

点，且∠NMB=∠MBC,求tan∠ABM的值

解：过点N作直线NO平行于MB，交BC于点O

∵∠NMB=∠MBC, NO‖MB

∴四边形BMNO为等腰梯形

∴BO = MN

∵N是DC的中点

∴BO²=MN²=DM²+DN²=(AB-AM)²+(AB/2)²

∵NO‖MB, AD‖BC

∴∠AMB=∠MBC=∠NOC

∴⊿AMB∽⊿CON

∴OC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2)

∴BO=AB-AM/2

得到方程式

(AB-AM)²+(AB/2)²=(AB-AM/2)²

解方程得：

AB²-2*AB*AM+ AM²+AB²/4=AB²-AB*AM+AM²/4

AB²/4- AB*AM+3/4 * AM²=0

(AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0

AB=AM或AB=3AM

∵AB=AM时M重合于D，不合题意。

∴AB=3AM

∴tan∠ABM=AM/AB=1/3

二、填空题

10. 若关于x的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围．

解不等式1得x<21

解不等式2得x>2-3a

结合两解得2-3a<x<21

而x有四个整数解，观察上式可知，这四个整数解为20、19、18、17，

所以16<=2-3a<17

-5<a<=-14/3

11.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=5，P是三角形ABC内一点，且PA=根号5，PC=5，

则PB=？

作PH⊥AC，BG⊥AC，垂足H，G，PI⊥

BG，垂足I，

∵△ABC是等腰RT△，

∴AC=√2AB=5√2，

在△PAC中，根据勾股定理，

PA^2-AH^2=PC^2-CH^2=PH^2

5-AH^2=5^2-(5√2-AH）^2,

∴AH=3√2/2，

∵AG=AC/2=5√2/2，

∴HG=AG-AH=√2，

PH=√（PA^2-AH^2)=√2/2，

∵BG=AC/2=5√2/2，

∵四边形PHIG是矩形，

∴IG=PH=√2/2，

PI=HG=√2，

BI=BG-IG=BG-PH=2√2，

在RT△BPI中，根据勾股定理，

PB^2=BI^2+PI^2=8+2=10，

∴PB=√10。

12、已知圆环的内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环

套环地连成锁链如图1,单位;cm,那么这条锁链拉直的长度是多少厘米

?

50个内径共50acm，外加两边两个外径(b-a)cm，共50a+b-a=49a+b(cm)。

13.下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树

枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，

图（7）比图（6）多出（ ）个“树枝”。

答案60

解：∵图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8

个“树枝”，…，

∴图形从第2个开始后一个与前一个的差依次是：2，22，…，2n-1．

∴第5个树枝为15+24=31，第6个树枝为：31+25=63，

∴第（6）个图比第（2）个图多63-3=60个．

故答案为：60．

如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1

多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，

照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）

请问能不能用n来表示 …… 此处隐藏：2316字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……