第5.2节 矩阵相似对角化

主要内容一、矩阵相似的概念 二、矩阵相似对角化 三、小结

一. 相似矩阵的概念定义1:设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ,使得

P AP B则称矩阵 B 是矩阵A 的相似矩阵， 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A 进行运算 P-1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。

1

注：1 .矩阵相似是一种等价关系(1)反身性： A A. (2)对称性：若 A B 则 B A. (3)传递性：若 A B, B C , 则 A C . 2.若 A 与 B 相似, 则 A m 与 B m 相似( 为正整数). 分析: A ~ B ,则存在可逆矩阵 P ,使 P 1 AP B

P 1 AA P P 1 AP P 1 AP B 2

定理1:

n

阶方阵

A ~ B 相似,则有

1 r A r B 2 A B和 B 的特征多项式相同,即 I A I B

3 A

从而 A 和 B 的特征值相同

4 tr A tr B 5

推论 若 n 阶方阵A与对角阵 1 2 n

相似, 则 1 , 2 , , n即是A的n个特征值.

5 1 2 4 例1:设矩阵 A 2 x 2 与 相似, y 4 4 2 1 求x

,y得到方程

解:利用 A

3 x 4 y 8, 0

再利用 tr( A) tr( ), 得到 2 x y 1.

二. 矩阵相似对角化定义2:对

n 阶方阵 A ,如果可以找到可逆矩阵 P,

使得

P 1 AP 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。

定理2: n 阶矩阵 A 可对角化(与对角阵相似)

A 有 n 个线性无关的特征向量。8

证

“ ”设存在可逆阵P ,令 P ( p1 p2 pn ) .

则 A( p1 p2 pn ) ( p1 p2 pn )

1 2 1 使P AP , n 1

2

又 A( p1 p2 pn ) ( Ap1 Ap2 Apn ), ( Ap1 Ap2 Apn ) ( 1 p1 2 p2 n pn ). Api i pi , (i 1, 2, , n).

( 1 p1 2 p2 n pn ). n

故 i为A的特征值, 且P 的列向量 pi 为 A 对应 i的特征向量.

由于P可逆, 所以p1 , p2 , , pn线性无关，

即A有n个线性无关的特征向量 .

“ ”设矩阵A有n个线性无关的特征向量p1 , p2 , , pn,

且对应的特征值分别为 1, 2, , n ,令 P ( p1 p2 pn ) , 则 APi i Pi ( i 1, 2, , n).

则 AP A( p1 p2 pn ) ( Ap1 Ap2 Apn )

( 1 p1 2 p2 n pn )即 AP P , 1

P AP

1 2 ( p1 p2 pn ) P , n

A与对角矩阵相似 .10

推论1 :若 n 阶方阵 A 有 n个互不相同的特征值,

则 A 可对角化。(与对角阵相似) (逆命题不成立)

证：设A的n个不同的特征值分别为 1, 2, , n ,

且对应的特征向量分别 为p1, p2, , pn,

则p1, p2, , pn线性无关，故A与对角矩阵相似 .11

说明：如果 A 的特征方程有重根，此时不一定有 n 个线性 无关的特征向量，从而矩阵 A 不一定能对角化. 推论2:

n

阶方阵 A 相似于对角阵的充要条件是 A的

t i 重特征值对应 t i个线性无关的特征向量. 即A与对角矩阵相似 对每个t i 重特征值 i 有 R( i E A) n t i . 证： R( E A) n t ,每一个

( i E A) x 0基础解系含 t i 个解向量，即对应 i的线性无关的特征向量 有t i 个，

i

i

故A有n个线性无关的特征向量 .

相似对角化及求相似变 换矩阵P的步骤：

(1) 求矩阵A的特征值 1, 2, , n;( 2) 对每个 i,解( i E A) x 0, 求出A的 n个线性无关的特征向量 p1, p2, , pn;( 3) 以p1, p2, , pn为列构成相似变换矩阵 P ( p1, p2, , pn ). 1 2 1 则P AP ,其中 i的排列顺序与 pi 对应. n 13

1. 判断实矩阵能否对角化 4 6 0 例2:设A 3 5 0 . 问 A 能否对角化？ 3 6 1 若能对角化，求出可逆矩阵P 使得P 1 AP 为对角阵。 4 解： A E

6 5 62

0 0 1

3 3

1 2 0 1 2 1, 3 2.14

当

1 2 1 时，齐次线性方程组为 A E X 0 3 3 A E 3 6 6 6 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0

x1 2 x2

2 得基础解系 p1 1 , 0

0 p2 0 . 1

当 3 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0 6 3 A 2E 3 6 3 6 0 1 0 0 0 3 0 1 0 1 1 0 15

1 x1 x3 得基础解系 p3 1 . x x 2 3 1 2 0 1

1

p1 , p2 , p3 线性无关， A 可以对角化。 0 1 1 2 0 1 令 P p1 , p2 , p3 1 0 1 0 1 1 1 0 0 则有 P 1 AP 0 1 0 0 0 2

0

1 0