南昌二中2017－2018学年度下学期期末考试

高二数学（理）试卷

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分）

1. 设全集U＝｛1,3,5,7｝，集合M＝｛1，|a－5|｝，M U ，M＝｛5，7｝，则实数a的值为( )

A. 2或－8

B. －8或－2

C. －2或8

D. 2或8

【答案】D

【解析】分析：利用全集，由，列方程可求的值.

详解：由，且，

又集合，

实数的值为或，故选D.

点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.

2. 已知命题，则命题的否定为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.

详解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题的否定为，故选D.

点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

3. 函数，则的定义域为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】试题分析：由题意知，，∴的定义域是，故：且，解得

或，故选B．

考点：对数的运算性质．

4. 已知幂函数

的图象关于y 轴对称，且在上是减函数，则（）

A. -

B. 1或2

C. 1

D. 2

【答案】C

【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.

详解：幂函数的图象关于轴对称，

且在上是减函数，

为偶数，且，解得，故选C.

点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.

5. 方程至少有一个负根的充要条件是( )

A.

B.

C.

D. 或

【答案】

C

若方程有两个负的实根，则必有．

②若时，可得也适合题意．

综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．

故答案为：C

考点：充要条件，一元二次方程根的分布

6. 已知定义域为R 的函数满足：对任意实数有，且，若，则＝( )

A. 2

B. 4

C.

D.

【答案】B

【解析】分析：令，可求得，再令，可求得，再对均赋值，即可求得. 详解：，

令，得，

又，

再令，得，

，

令，

得，故选B.

点睛：本题考查利用赋值法求函数值，正确赋值是解题的关键，属于中档题.

7. 已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A到B 的映射满足：①

；②的象有

且只有2个，求适合条件的映射的个数为( )

A. 10

B. 20

C. 30

D. 40

【答案】D

【解析】分析：将元素按从小到大的顺序排列，然后按照元素在中的象有且只有两个进行讨论. 详解：将元素按从小到大的顺序排列，

因恰有两个象，将元素分成两组，从小到大排列，

有一组；

一组；

一组；

一组，

中选两个元素作象，共有种选法，

中每组第一个对应集合中的较小者，

适合条件的映射共有个，故选D.

点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（）分清象与原象的概念；（）明确对应关系.

8. 函数的大致图象为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析：利用函数的解析式，判断大于时函数值的符号，以及小于时函数值的符号，对比选项排除即可.

详解：当时，函数，

排除选项；

当时，函数，

排除选项，故选B.

点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

9. 已知函数是定义在R 上的奇函数，函数的图象与的图象关于直线

对称，则

＋的值为( )

A. 2

B. 0

C. 1

D. 不确定【答案】A

【解析】试题分析：∵函数是定义在上的奇函数，∴，令

代入可得

，函数关于对称，由函数的图象与函数的图象关于直线

对称，函数

关于对称从而有，故选A．

考点：奇偶函数图象的对称性．

【思路点睛】利用奇函数的定义可把已知转化为，从而可得函数关于对称，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于对称，代入即可求出结果．

10. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】设由，可得，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递减，不合题意，当时，函

数在上单调递增，

函数，在区间

内单调递增，

，

，a 的取值范围是，故选B.

11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数

，则

( )

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. 2019

【答案】C

【解析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，利用倒序相加法即可得到结论.

详解：函数，

函数的导数，，

由得，

解得，而，

故函数关于点对称，

，

故设，

则，

两式相加得，则，故选C.

点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.

12. 已知函数，函数有四个不同的零点

，且满足：

，则的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】分析：结合函数图象可得，，可化为，

换元后利用单调性求解即可. 详解：作出的解析式如图所示：

根据二次函数的对称性知

，

且，

，

， 因为所以当

时，函数等号成立， 又因为在递减，

在递增， 所以，

所以的取值范围是，故选

D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 已知条件：；条件：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________________ 【答案】 【解析】分析：条件化为，化为，由是的必要不充分条件，根据包含关系列不等式求解即可. 详解：条件，化为，解得，

，解得

，

若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，

，解得， 则实数的取值范围是，故答案为.

点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.

14. 已知函数，对任意，都有，则____________

【答案】－20 【解析】分析：令，知，，从而可得，进而可得结果. 详解：令，知，，

，，

，

，故答案为.

点睛：本题主要考查赋值法求函数的解析式，令，求出的值，从而求出函数解析式，是解题的关键，属于中档题.

15. 已知函数，则函数的值域为__________

【答案】

【解析】分析：化为，时，，时，，从而可得结果.

详解：

,

时，，

时，，

函数，则函数的值域为,故答案为.

点睛：本题考查函数的值域，属于中档题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.

16. 设是定义在R 上的奇函数，在上单调递减，且，给出下列四个结论：

①；②是以2为周期的函数；

③在上单调递减；④为奇函数.

其中正确命题序号为____________________

【答案】①②④

【解析】分析：①由，用赋值法求解即可；②由奇函数和，可得；③可得函数关于对称，可得在上单调递增；④结合②，可得

为奇函数.

详解：①函数是定义在上的奇函数，，

又，，正确.

②奇函数和，，

，函数的周期是,正确.

③

是奇函数,,, 即函数关于对称，因为在上单调递减， 所以在上单调递增，不正确.

④

是奇函数, 函数的周期是, 所以

, 所以 是奇函数，正确, 故答案为①②④. 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

三、解答题（共70分）

17. 已知集合P ＝，函数的定义域为Q. （Ⅰ）若P Q ，求实数的范围；

（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围. 【答案】

(1) （2）

【解析】分析：（1）只需

即可；（2）在有解，即求，的范围就是函数的值域，求出函数值域即可.

详解：（1）P ＝，P Q ，不等式在上有解，由

得，而，

（2）

在有解，即求的值域， 点睛： （1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值，若是存在大于函数的值成立，一般令其大于函数的最小值；（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出

解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性.

18. 如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且

分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外

平面

即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令

，经计算得

，即，又因为

平面；

（Ⅱ）过作，连结

由已知得

平面

就是二面角的平面角

经计算得，

考点：1．线面垂直的判定定理；2．二面角；

19. 某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）

.

（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；

（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润

.

【答案】(1) 三类工种的保费上限分别为6.25元，12.5元，62.5元（2）保险公司在这宗交易中的期望利润为55000元

【解析】试题分析：（I ）设工种每份保单的保费，则需赔付时，收入为，根据概率分布可计算出保费的期望值为，令解得.同理可求得工种保费的期望值；（II）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润.

试题解析：

（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为

保险公司期望收益为

根据规则

解得元，

设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元，

设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为

元，根据规则

，解得元.

（Ⅱ）购买类产品的份数为份，购买类产品的份数为份，

购买类产品的份数为份，

企业支付的总保费为

元，

保险公司在这宗交易中的期望利润为元.

20. 已知二次函数

，设方程有两个实根（Ⅰ）如果，

设函数的图象的对称轴为，求证：；（Ⅱ）如果，且的两实根相差为2，求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析（2）

【解析】分析：（1）有转化为有两根：一根在与之间，另一根小于，利用一元二次方程的根分布可证；（2）先有，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况的讨论，再利用两个之和与两根之积列不等式可求的取值范围.

详解：

（1）设，且，则由条件x1<2< x2<4

得

（2）

，

又

或综上：

点睛：利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解；二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解，此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想.

21. 已知函数的图象关于原点对称.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）若函数在内存在零点，求实数的取值范围.

【答案】

(1) ，

；（2）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）题意说明函数是奇函数，因此有恒成立，由恒等式知识可得关于的方程组，从而可解得；

（Ⅱ）把函数化简得，这样问题转化为方程在

内有解，也即

在内有解，只要作为函数，求出函数的值域即得．试题解析：

（Ⅰ）函数的图象关于原点对称，

所以，所以，

所以，即，

所以，

解得，；

（Ⅱ）由，由题设知在内有解，即方程在内有解

. 在内递增，得

. 所以当时，函数在

内存在零点. 22. 已知，函数

． （I ）当为何值时，

取得最大值？证明你的结论； （II ） 设在上是单调函数，求的取值范围； （III ）设，当时，

恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)见解析（2）

（3） 【解析】试题分析：（I ）求得f ’(x )=[-x 2+2(a -1）x +2a ]e x ，取得-x 2+2(a -1)x +2a =0的根，即可得到数列的单调

性，进而求解函数的最大值.

（II ）由（I ）知，要使得在[-1,1]上单调函数，则：

，即可求解a 的取值范围； （III )由，分类参数得，构造新函数（x ≥1)，利用导数求得函数h (x )的单调性和最值，即得到a 的取值范围.

试题解析：

（I ）∵

，

，

∴

，

由得，

则

，

∴在和上单调递减，在上单调递增，

又时，且

在上单调递增，

∴

，

∴有最大值，当时取最大值．

（II）由（I）知：

，

或，

或；

（III）当x≥1时f(x)≤g(x)，即（-x2+2ax)e x，

，

令，则，

∴h(x)在上单调递增，

∴x≥1时h(x)≥h(1)=1，

，又a≥0所以a 的取值范围是.

点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力．导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用．