高等数学课后习题答案第三章

习题三

1 (1) 解：所给函数在定义域( , )内连续、可导，且

y 6x2 12x 18 6(x 1)(x 3)

可得函数的两个驻点：x1 1,x2 3,在( , 1),( 1,3),(3, )内，y 分别取+，–，+

号，故知函数在( , 1],[3, )内单调增加，在[ 1,3]内单调减少. (2)解: 函数有一个间断点x 0在定义域外，在定义域内处处可导，且单调增加，而在(0,2]内单调减少.

y

y 2

8x

2

，则函

数有驻点x 2，在部分区间(0,2]内，y 0；在[2, )内y >0，故知函数在[2, )内

0

(3) 解: 函数定义域为( ,

)，,故函数在( , )上单调增加.

x 1,x

12,

(4) 解: 函数定义域为( , ),y 2(x 1)(2x 1)，则函数有驻点: 在

( ,

1

2内， y 0，函数单调减少；在2

n 1

2

][

1

, )

n

x

内， y 0，函数单调增加.

e

x

(5)解: 函数定义域为[0, )，y nx

e

x

xex

n 1

(n x)

函数的驻点为x 0,x n,在[0,n]上y 0，函数单调增加；在[n, ]上y 0，函数单调减少.

(6)解: 函数定义域为( , ),

π

x sin2x, x [nπ,nπ ], n Z, 2y

x sin2x, x [nπ π,nπ], n Z. 2

1) 当

x [nπ,nπ

π

]

2时， y 1 2cos2x，则 12

x [nπ,nπ

π3； ]

y 0 cos2x

y 0 cos2x

x [nπ

π2

π2

x [nπ

π3

,nπ

π

2.

]

2) 当

,nπ]121

时， y 1 2cos2x，则

π2π,nπ

π6 ]

y 0 cos2x x [nπ

y 0 cos2x

2

x [nπ

6

,nπ]

.

高等数学课后习题答案第三章

kπkππ, ] (k z)

3综上所述，函数单调增加区间为22，

[

函数单调减少区间为2

4

4

[

kπ

πkππ

, ] (k z)322.

(7)解: 函数定义域为( , ).

y 5(x 2)(2x 1) 4(x 2)(2x 1) 2 (2x 1)(18x 11)(x 2)

3

4

5

3

,

函数驻点为在在

( ,

1

x1

12

,x2

1118

,x3 2

]

2内， y 0,函数单调增加，

[

111,]

218上， y 0,函数单调减少，

在18

[

11

,2]

上， y 0,函数单调增加，

1

11111,][, )218，18.

在[2, )内， y 0,函数单调增加. 故函数的单调区间为:

( ,

2，]

[

2. (1) 证明: 令f(x) sinx tanx 2x,则当

0 x

π

f (x)

(1 cosx)(cosx cosx 1)

cosx

2

2

,

2时， f (x) 0,f(x)为严格单调增加的函数，故f(x) f(0) 0,

2

即sin2x tanx 2x. (2) 证明: 令

f(x)=e

x

sinx 1

x

x

2,则f (x)= e cosx x,

x x

f (x)=e sinx 1 e (sinx 1) 0,则f (x)为严格单调减少的函数,故

f (x) f (0) 0,即f(x)为严格单调减少的函数,从而f(x)

f(0 )

,即

2

3.证明:设f(x) sinx x，则f(x) cosx 1 0,f(x)为严格单调减少的函数，因此

f(x)至多只有一个实根.而f(0) 0，即x 0为f(x)的一个实根，故f(x)只有一个实根

e

x

sinx 1

x

2

.

x 0，也就是sinx x只有一个实根.

4. (1)解: y 2x 2,令y 0，得驻点x 1.

又因y 2 0，故x 1为极小值点，且极小值为y(1) 2.

2

y 6x 6x,令y 0，得驻点x1 0,x2 1, (2)解:

y 12x 6,y

x 0

0,y

x 1

0

,

故极大值为y(0) 0，极小值为y(1) 1. (3)解: y 6x 12x 18 6(x 3)(x 1),

2

高等数学课后习题答案第三章

令y 0，得驻点x1 1,x2 3.

y 12x 12,y

x 1

0,y

x 3

0

,

故极大值为y( 1) 17，极小值为y(3) 47. (4)解:

y

y 1

11 x

x 0

0

，令y 0，得驻点x 0. ,故y(0) 0为极大值.

2

1(1 x)

2

,y

3

0

(5)解: y 4x 4x 4x(1 x)， 令y 0，得驻点x1 1,x2 0,x3 1.

y 12x 4, y

2

x 1

0,y

x 0

0,

3

故y( 1) 1为极大值，y(0) 0为极小值.

y 1

,令y 0，得驻点3

4时， y 0;当

x

3

4时， y 0,故

(6)解

:

x2 1，当

35y() 44.

x1

4且在定义域( ,1]内有一不可导点

,

x

x1

3

4为极大值点，且极大值为

因为函数定义域为x 1，故x 1不是极值点.

y

12

5时， y 0；当y 3

x 1x x 1,

2

(7)解

: 当

x

,令y 0，得驻点

x

12

x

125.

y(125)

5，y 0,

故极大值为

.

y

x(x 2)(x x 1),

2

2

(8)解:

令y 0，得驻点x1 2,x2 0.

y

y

( 2x 2)(x x 1) 2(2x 1)(x 2x)

(x x 1)

0,y

x 0

22

23

x 2

0

,

y( 2)

83.

故极大值为y(0) 4，极小值为(9)解: y e(cosx sinx), 令y 0，得驻点

y 2esinx，

x2k 2kπ

π4

x

x

xk kπ

y

π4

π4

(k 0, 1, 2, )

π4

.

x 2kπ

0,y

x (2k 1)π

0

，

y(x2k)

2e

2kπ

π4

故为极大值点，其对应的极大值为;

高等数学课后习题答案第三章

x2k 1 (2k 1)π

1

π4

为极小值点，对应的极小值为

1

y(x2k 1)

2

(2k 1)π

π4

.

(10)解:

y x(

x

1x

lnx) xx

1 lnxx

2

,

令y …… 此处隐藏：8660字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……