常系数高阶齐次线性微分方程

数学分析

高阶常系数齐次线性方程一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、n阶常系数齐次线性方程解法

数学分析

一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式 阶常系数线性微分方程的标准形式

y(n) + P y(n 1) +L+ P 1 y′ + P y = f ( x) 1 n n二阶常系数齐次线性方程的标准形式

y′′ + py′ + qy = 0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式

y′′ + py′ + qy = f (x)

数学分析

n阶常系数线性微分方程的标准形式

y

( n)

+ p1 y

( n 1)

+L+ pn 1 y′ + pn y = f ( x)

(1)

n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式

y

( n)

+ p1 y

( n 1)

+L+ pn 1 y′ + pn y = 0

(2)

由 2)的项的特点及 y = erx的特点： ( 的特点：

(erx )(n) = r nerx , erx 是 的解 (2) r nerx + p1r n 1erx + L+ pn 1re rx + pnerx = 0

r + p1rn

n 1

+L+ pn 1r + pn = 0

(3)

r 即：为特征根。

(2)的特征方程

数学分析

二、二阶常系数齐次线性方程解法y′′ + py′ + qy = 0

-----特征方程法 -----特征方程法

设 y = e rx , 将其代入上方程 得 将其代入上方程,

( r + pr + q )e = 02 rx

Q e ≠ 0,rx

故有

r + pr + q = 02

特征方程

特征根 r1, 2 =

p±

p 4q , 22

数学分析

1. 有两个不相等的实根( > 0) 特征根为 r1 =

p+

p 2 4q p p 2 4q , r2 = , 2 2

两个线性无关的特解

y1 = e ,r1 x

y2 = e ,r2 xrx 1

得齐次方程的通解为 y = C1e

+ C2e ;r2 x

数学分析

2. 有两个相等的实根 ( = 0)

p r1 x 特征根为 r1 = r2 = , 一特解为 y1 = e , 2设另一特解为 y2 = u( x )e r x ,1

′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ,y2 ,y2′ 代入原方程并化简，

u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,2 1

知 u′′ = 0,

则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x,1

得齐次方程的通解为 y = (C1 + C2 x)e ;rx 1

数学分析

3. 有一对共轭复根 ( < 0) 特征根为r1 = α + iβ ,

r2 = α iβ ,(α iβ ) x

y1 = e

(α + iβ ) x

,

y2 = e

,

1 y1 = ( y1 + y2 ) = e αx cos βx , 重新组合 2 1 y2 = ( y1 y2 ) = e αx sin βx , 2i得齐次方程的通解为

y = eαx (C1 cosβx + C2 sinβx).

数学分析

y′′ + py′ + qy = 0特征根的情况

r 2 + pr + q = 0通解的表达式

≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2实根 r1

y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )r1 x r2 x2

数学分析

定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 特征方程法. 确定其通解的方法称为特征方程法 确定其通解的方法称为特征方程法.

. 例1 求方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = 0的通解解 特征方程为 解得

r 2 + 4r + 4 = 0 ,

r1 = r2 = 2 ,

y = (C1 + C 2 x )e 2 x . 故所求通解为

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. 例2 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解解 特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 , 解得

r1, = 1± 2i , 2

故所求通解为

y = e x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).

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三、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法y

特征根(n)

+Py 1

(n 1)

+L+ P 1 y′ + P y = 0 n nn 1

特征方程为 r + P r 1n

+L+ P 1r + P = 0 n n对应的特解rx k 1 rx

k重实根 r 重实根αx

e , xe ,L, xαx

rx

e

k 重共轭复 e cos β x , xe cos β x , L , x 根 α ± iβ

k 1 αx

e cos β x

e αx sin β x , xe αx sin β x , L , x k 1e αx sin β x

次代数方程恰有n个根 注 1、n次代数方程恰有 个根。 次代数方程恰有 个根。 属于不同特征根的解线性无关 根的解线性无关。 2、属于不同特征根的解线性无关。

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注意 n次代数方程有 个根 而特征方程的每一个 次代数方程有n个根 次代数方程有 个根, 根都对应着通解中的一项, 根都对应着通解中的一项 且每一项各一个 任意常数. 任意常数 y = C1 y1 + C 2 y2 + L + C n yn

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例3 求方程

y(5) + y(4) + 2 y(3) + 2 y′′ + y′ + y = 0的通解 .解 特征方程为 r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1 = 0,

( r + 1)( r + 1) = 0,2 2

特征根为 r1 = 1, r2 = r3 = i , r4 = r5 = i , 故所求通解为y = C1e x + (C 2 + C 3 x ) cos x + (C 4 + C 5 x ) sin x .

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四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 (1)写出相应的特征方程 )写出相应的特征方程; (2)求出特征根 )求出特征根; 得到相应的通解. (3)根据特征根的不同情况 得到相应的通解 )根据特征根的不同情况,得到相应的通解 (见下表 见下表) 见下表

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y′′ + py′ + qy = 0特征根的情况

r 2 + pr + q = 0通解的表达式

≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2实根 r1

y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )r1 x r2 x2

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思考题′′ ( y′ )2 = y 2 ln y 的通解 的通解. 求微分方程 yy