福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学,福州五佳教育教研中心出品

2.6 对数与对数函数

一、选择题

1．若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是( ) 1

A．(，b)

a

B．(10a,1－b) D．(a2,2b)

C．(

10

a

，b＋1)

解析：当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lgx的图象上． 答案：D

2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )． A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋x2＋1) C．y＝2x＋2－x D．y＝lg

1

x＋1

解析 依次根据函数奇偶性定义判断知，A，C选项对应函数为偶函数，B选项对应函数为奇函数，只有D选项对应函数定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数． 答案 D

124

3.设a＝log1 b＝log1 c＝log3，则a、b、c的大小关系是( )

23333A．a<b<c C．b<a<c

12

11解析 ∵a＝log ，b＝log ， 233312

1∵log x单调递减而23

3

∴a>b且a>0，b>0，又c<0.故c<b<a. 答案 B 4.若f(x)

B．c<b<a D．b<c<a

1

，则f(x)的定义域为( )

log1(2x 1)

2

福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学,福州五佳教育教研中心出品

1111

A.( ,0) B.( , ) C.( ,0) (0, ) D.( ,2)

2222

解析

答案：C

5.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( ) A．a＞b＞c C．b＞a＞c

B．a＞c＞b D．c＞a＞b

解析：a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，y＝log4x(x＞0)是单调增函数， 而3.2＜3.6＜12.96，∴a＞c＞b. 答案：B

1

＋1 (x＞1)的值域是( )． 6．函数y＝log0.5 x＋

x－1 A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞) 解析 ∵x＋答案 A

7.已知函数f(x)＝|lgx|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是( )．

A．2，＋∞) B．[22，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)

解析 由已知条件0<a<1<b和f(a)＝f(b)得，－lg a＝lg b，则lg a＋lg b＝0，

11＋1＝x－1＋＋2≥x－1x－1

(x－1)·

1

＋2＝4.∴y≤－2. x－1

ab＝1，因此a＋2b＝a＋由对勾函数知y＝x＋在(0,1)单调递减，得a＋2b>3，

ax即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)． 答案 C 二、填空题

22

福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学,福州五佳教育教研中心出品

1

的定义域是________． 8.函数f(x)＝ln 1＋

x－1 解析 要使f(x)有意义，应有1＋∴

1

>0， x－1

x

x－1

>0，∴x<0或x>1.

答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)

9．已知函数f(x) lgx，若f(ab) 1，则f(a2) f(b2) ____________。

答案 2

10．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．

解析：如图所示为f(x)＝|log3x|的图象，当f(x)＝0时，x＝1，当

f(x)＝1时，x＝3或[0,1]，则定义域为[3]或[2

1]或[1,3]，所以b－a的最小值为.

32答案：

3

x

2 (x≥2)，

11．已知函数f(x)＝

f(x＋2) (x＜2)，

131313

则f(log23)＝________.

解析 ∵1＜log23＜2， ∴log23＋2＞2

∴f(log23)＝f(log23＋2)＝f(log212) ＝2log212＝12. 答案 12

12．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________． 解析 (等价转化法)令u＝x2－2x，则y＝log3u.

福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学,福州五佳教育教研中心出品

∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x＞0的减区间是(－∞，0)， ∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)． 答案 (－∞，0)

【点评】 本题采用了等价转化法(换元法)，把问题转化为关于x的二次函数的单调区间问题，但应注意定义域的限制． 三、解答题

13．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：(1)∵f(1)＝1，

∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3.

则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

a>0，

因此应有 12a－4

4a＝1，

1

解得a＝2

1

故存在实数a＝f(x)的最小值等于0

2

14．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．

解 y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，

福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学,福州五佳教育教研中心出品

解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，

f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.

令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2. 2 24

∴f(t)＝4t－3t＝－3 t－＋t＞8或0＜t＜2)．

3 3

2

由二次函数性质可知： 4 0，， 当0＜t＜2时，f(t)∈

3 当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)， 224

当2x＝t＝，即x＝log2 时，f(x)max＝333

24

综上可知：当x＝log2 时，f(x)取到最大值为，无最小值．

3315．已知函数f(x)＝loga(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)讨论f(x)的单调性； 解 (1)令

x＋b

(a＞0，b＞0，a≠1)． x－b

x＋b

＞0， x－b

解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)． (2)因f(－x)＝loga＝－loga

－x＋b x＋b －1

＝loga

－x－b x－b

x＋b

f(x)， x－b

故f(x)是奇函数． (3)令u(x)＝

x＋b2b

，则函数u(x)＝1＋在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函x－bx－b

数，所以当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；当a＞1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数． 16.已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．

福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学,福州五佳教育教研中心出品

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解析 (1)由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1， 3

∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a>0得a<.∴a的取值范

23 1，. 围为(0,1)∪

2

(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，

3 3

∴a＝，此时f(x)＝log3 3－ ，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的

2 2 2实数a不存在．

文章来源：福州五佳教育网 http:///yikao/ (五佳教育艺考文化课集训，承诺保过本科线，打造福建省性价比最高的文化课集训)