沪科版数学七年级下册

第六章实数

一、知识总结

（一）平方根与立方根

1、平方根

（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。

（2）表示：非负数a的平方根记作±a，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。

Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。

2、算术平方根

（1）定义：正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。（2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性；即：a≥0恒成立。

（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；

负数的没有算术平方根。

3、立方根：

（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。

（2）表示：a的立方根记作3a，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）

（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。

（二）实数

1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）

2、实数：有理数和无理数统称为实数。

3、实数分类：（1）按定义分（略） （2）按正负性分（略）

4、实数与数轴上的点一一对应。

5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）

6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。

7、实数大小：（1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······

二、解题实用

1、 1.414212≈ 1.7323≈ 2.2365≈

2、a a =2 ()a =2a ()a a ==3

333a 3、ab b =⋅a b a b

a b ==÷a ()0b ≠

三、典题练习

1、16的平方根是 ；()2

3-的算术平方根是 ；23-的立方根是 。 2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。

3、一个自然数的算术平方根是x ，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。

4、下列各数中一定为正数的是 （填序号）

① x ② 1x + ③2x ④ 1x 3+ ⑤ 1x +

5、当x<-1时，2x ，-x ,3x -和

x 1的大小关系 。 6、比较下列各组数的大小

()2-23-21与 ()754

12与 ()112533与 ()7

1-21-4与π 7、2-7的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。

8、已知3x =，y 为4的平方根，0xy <，求x+y 的值。

9、已知02-3x =++y ，求x 2

+y 的平方根。 10、如果一个非负数的平方根为2a-1和a-5，则这个数是 。

11、a 为5的整数部分，b 为5的小数部分，则a+2b 的值为 。

12、若a a =+2012-a -2011，试求2

2011-a 的值。（提示：找出题中的隐含条件）

第七章一元一次不等式与不等式组

一、知识总结

（一）不等式及其性质

1、不等式：

（1）定义用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。

不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。

二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。

（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。

2、不等式的基本性质

性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 即：如果b >a ，那么c b c ±>±a .

性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 即：如果b >a ，并且0c >，那么bc >ac ；c

b c >a . 性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 即：如果b >a ，并且0c <，那么bc <ac ；

c b c <a . 性质4：如果b >a ，那么a <b .（对称性）

性质5：如果b >a ,c >b ,那么c >a .（传递性）

（二）一元一次不等式

1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，

叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解法：

根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；

(4)合并同类项；(5)系数化为1.

解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左

（三）一元一次不等式组

1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组

2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。

3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

4、一元一次不等式组的解法

1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况：

（四）一元一次不等式（组）解决实际问题

解题的步骤：

⑴审题，找出不等关系→⑵设未知数→⑶列出不等式（组）→

⑷求出不等式的解集→⑸找出符合题意的值→⑹作答。

二、解题技巧

一、有解无解问题：

（1）{a b x><x

{b

b

<

≥

⇒a

a

有解：

无解：（2）

{a

x

≥

<

x

b

{b

b

a

<

≥

⇒a

有解：

无解：

（3）{a b x≥≤x

{b

b

a

≤

>⇒a

有解：

无解：

2、特征解问题：

解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为m) 当作已知数，去解原式——→得

到原式的解（含m )——→根据解的特征列出式子（关于m 的式子)——→解出m 的值。

例：已知12a +≥+x x 的解集为1x ≤，求a 的值。

解：解不等式12a +≥+x x ······把a 当作已知数，去解原式 得1x -≤a ······得到原式的解（含a ) 则11-a = ······根据解的特征列出式子 解得2a = ······解出a 的值

三、典题练习

1、若关于x 的不等式{1

x 12+≤-≥m m x 有解，则m 的取值范围是？若无解呢？

2、已知关于x ，y 的方程组{

m y y x -=+=+1x 222的解满足0x >+y ，求m 的取值范围。

3、适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解：

（1）x 只有一个整数解； （2）x 一个整数解也没有。

4、解不等式（组）

（1）⎪⎩⎪⎨⎧⋅>-<-322,352x x x x （2） ⎪⎩⎪⎨⎧-<-->-->+.3273,4536,7342x x x x x x （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->+--.1)]3(2[2

1,312233x x x x x

（4）－5＜6－2x ＜3 （5）.17)10(2383+-≤--y y y

5、若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．

6、已知关于x ，y 的方程组⎩

⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围。

7、已知关于x 的不等式组{0x 542≤-≥-b x 的整数解共有3个，求b 的取值范围。

8、已知A ＝2x 2＋3x ＋2，B ＝2x 2

－4x －5，试比较A 与B 的大小。

9、已知a 是自然数，关于x 的不等式组⎩

⎨⎧>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值。

10、某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?

11、某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件

5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这 20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。

（1）若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y。

（2）若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?

12、某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座 客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。

（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱?

（2）若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省

租金，请选择最节省的租车方案。

第八章 整式乘除与因式分解

一、知识总结

（一）幂的运算：

1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。n m n m a a a +=

2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。n m n m a a a -=÷

3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。()

mn n m a a = 4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。()m m m b a ab =

注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；10=a 0≠a

（2）任何一个不等于零的数的-p （p 为正整数）指数幂，

等于这个数的p 指数幂的倒数。p

p a a 1=- 0≠a （3）科学记数法：n a 10c ⨯±=或n a -10c ⨯±= ()10a 1<≤

绝对值小于1的数可记成n

-10a ⨯±的形式，其中10a 1<≤，n 是正整数，n 等于原 数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。

（二）整式乘法：

1、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

2、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别 相乘，再把所得的积相加。

3、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一 个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

（三）、完全平方公式与平法差公式

1、完全平方公式：()2222ab a b a b ++=+ ()2222--a b ab a b += 两个数的和（或

差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。

2、平法差公式：()()b a b a b --a 22+= 两个数的平方之差等于这两个数的和

与这两个数的差之积。

（四）、整式除法

（1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对

于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（2）多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这

个单项式再把所得的商相加。

（五）、因式分解

1、定义：把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项

式分解因式。

2、分解因式的基本方法：

（1）提公因式法

（2）公式法：运用完全平方公式和平法差公式

（3）对于二次三项式的因式分解的方法：

1）配方法，2）十字相乘法：公式 ()()()b x a x ab x b a x ++=+++2

例：将342++x x 因式分解。

方法一：配方法：原式=34-442+++x x =()1-22

+x =()()31++x x 方法二：十字相乘法：342

++x x =()()31++x x （4）分组分解法

3、分解因式的技巧：

(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；

(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁

(3)变形技巧：

①符号变形 Ⅰ、()x y y ---x = Ⅱ、当n 为奇数时，()()n n x y y ---x = Ⅲ、当n 为偶数时，()()n

n x y y --x = ②增项变形：

例：()22422444-1444-41414x x x x x x x ++→++→+ →

③拆项变形：

例()()

()()() →+++→++→++→+11-11-1-1-2x 222322323x x x x x x x x x x x

二、典题练习

1、计算题

(1)()()52-22b -a a b ⋅ （2)()x ÷32x (3)()32-a m (4)m a 25a ⋅ (5)

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯÷⨯3251031103 (6)()()()23422--2x y x y x y +⨯÷+ 2、快速计算：（1）97103⨯ （2）2102 （3）299

3、42m =，164n =，求n -2m 2的值。