第九届全国周培源大学生力学竞赛试题及详细参考答案和评分标准

第九届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：本试卷共 5 题 满分 120 分 时间 3 小时 30 分 注意：答卷中各题所得的最后计算结果用分数表示或用小数表示均可。 第 1 题（15 分）图 1 为某个装在主机上的旋转部件的简图。四个重量为 G ，厚度为 b ，宽度为 3b ，长度为 L ，弹性模 量为 E 的均质金属片按如图的方式安装在轴 OO′ 上。在 A 处相互铰结的上下两个金属片构成一组，两组 金属片关于轴 OO′ 对称布置。两组金属片上方均与轴套 O 铰结，且该轴套处有止推装置，以防止其在轴 向上产生位移。两组金属片下方均与 O′ 处的轴套铰结，该轴套与轴OOO′ 光滑套合。当主机上的电动机带动两组金属片旋转时， O′ 处的轴套会向上升起。但轴套上升时，会使沿轴安装的弹簧压缩。弹簧的 23G 自然长度为 2 L ，其刚度 k = 。 O 和 O′ 处的轴套、弹簧，以及 L 各处铰的重量均可以忽略。Aωb LO′ H(1) 暂不考虑金属片的变形，如果在匀速转动时 O′ 处轴套向上升起的高度 H = L 是额定的工作状态，那么相应的转速 ω0 是多少？(2) 当转速恒定于 ω0 时，只考虑金属片弯曲变形的影响，试计算图示角度 ∠OAO′ 相对于把金属片视为刚体的情况而言的变化量。图 1第 2 题（25 分）在图 2 中，杂技演员推动着演出道具在平坦的水平面上缓慢滚动。道具的外环和内芯都是刚性的，D1 = 5D2 。三根直径为 d 、长度相等的实心圆杆布置匀称，其重量可以忽略不计。圆杆两端分别与外环和内芯用球铰连结，且有 D2 = 12.5d 。圆杆材料可视为理想弹塑性，比例极限为 σ p ，弹性模量 E 的数值是 σ p 的 400 倍。内芯有轴承及其他结构，可以保证悬挂在圆心处的重物始终保持着竖直悬垂的状态，而且不会 与圆杆相撞。不考虑可能存在的间隙。(1) 若要使每根圆杆都不会失稳，安全因数取 n ，重物（包含内芯）的重量 F 最多允许为多大（用 σ p 、 d 和 n 表示）？D1 D2 F(2) 如果 F 的取值在上小题的许用范围内，内芯的圆心位置会不会因为圆杆变形而在滚动过程中产生微小的 波动？试证明你的结论。图 2(3) 在保持原结构和构件的形式不变（例如，不允许将实心圆杆改为空心圆杆） ，连接方式不变，安全因数不变，不减小外环外径，不增加材料用量，不更换材料的前提下，能否重新设计和制作这一道具，使F 在第 (1) 小题所得到的许用值得到提高？如果你认为这个设想可以实现， F 的许用值最多能提高多少？第 3 题（25 分）小明和小刚有一个内壁十分光滑的固定容器，他们已经知道这个容器的内壁是一条抛物线绕着其对称 轴旋转而得到的曲面。如何确定这条抛物线的方程，是小明和小刚想要解决的问题。他们手里还有一根长 能不能借助这根杆件来做这件事呢？数次将这根杆件随意放入容 度为 400 mm 的同样光滑的均质直杆 AB，-1-

器之中时，他们意外发现，尽管各次放入后杆件滑动和滚动的情况都不一样，但最终静止时与水平面的夹 角每次基本上都是 45o ，如图 3 所示。小明兴奋地认为，由此就可以确定抛物线方程了。小刚对此表示怀 疑，他把杆水平地放在容器里，杆照样静止了下来。他认为，说不定杆的平衡状态有很多，利用这根杆件 来确定抛物线方程的想法不可靠。小明有些懊丧，一赌气把那根静止的水平杆拨弄了一下，那根杆立刻滑 动起来，最终又静止在 45o 的平衡角度上。小刚再次拨弄这根杆，杆运动一番后，仍然回到 45o 的平衡角 度上。两人就此进行了激烈的争论，反复的讨论和细致的演算；甚至还找了好几根长短不一的均质杆来进 行实验验证。(1) 试以杆的轴线与水平面的夹角 α ( 0 ≤ α ≤ 90 o ) 为参数，推导出杆件所有可能的平衡位置。y 45° A(2) 试确定这条抛物线的方程。 (3) 试分析静止在这个容器内的各种光滑均质杆，在什么情况下受到扰动之后还能回到初始的平衡角度上，什么情况下不能。图 3B x第 4 题（30 分）图 4 是一个吊装设备的示意图。水平平面内的直角刚架由塑性材料的实心圆杆制成，其两个短杆的端 面 A 和 G 牢固地固定在竖直的刚性壁上。吊装的重物一直不变，但可以吊挂在刚架的任意部位。已知刚架 各部分圆杆横截面的直径均为 d ，其他尺寸如图所示。材料的弹性模量为 E ，泊松比 ν = 0.25 。不考虑刚 架的自重。(1) 由于重物的作用，圆杆的 A 截面最上点处会产生沿着 AB 杆轴线方向上的线应变。尽管吊装的重物没有变化，但由于吊挂的位置不同，这个应变的数值也是不同的；无须证明，在所有可能的数值中，必 定有一个极大值 ε max 。试用 ε max 表示出重物及挂钩的总重量 F 。 有人直接将 Eε max 作为在相应吊挂情况下 A 截面上危险点的屈服强度 (2) 在出现这个极大值 ε max 时， 准则的相当应力。这样做行吗？为什么？ 如果要利用电测 (3) 在图示 AB 区段的中截面 J 处， 法测算出在各种吊挂情况下该截面的全部内力，同时要 求应变片要用得尽可能地少，效果要尽可能地好，在理 论上应该贴多少个应变片？应在该截面外圆的何处粘 贴？沿着什么方向粘贴？如何利用这些应变片的读数来 求得 J 截面上各个内力的数值？图 4A J C B L L D G L L/2 L H第 5 题（25 分）在收拾整理第 3 题中所用的光滑均质杆时，小刚不小心将一根杆件滑落在 地上。小明“当心”的话还未说出口，就被杆件 …… 此处隐藏：14705字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……