江门市2011年高二期末质检理数

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江门市2011年普通高中高二调研测试

数 学（理科）

说明：1、本试卷共4页，21小题，满分150分。测试用时120分钟。不能使用计算器。 2、答案必须作在答题卡上，考试结束后，只交答题卡。 参考公式：锥体的体积Sh V 3

1

=

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 独立性检验临界值表

参考公式：)

)()()(()(

2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

⒈i 是虚数单位，则=÷+i i )21(

A ．i -2

B ．i +2

C ．i --2

D ．i +-2 ⒉已知集合A 是函数x y 2log =的定义域，R 是实数集，则=A C R

A ．)0 , (-∞

B ．]0 , (-∞

C ．) , 0(∞+

D ．) , 0[∞+ ⒊同时掷两个骰子，向上的点数之和等于7的概率是

A ．91

B ．81

C ．121

D ．61

⒋ =-)3

4sin(π

A ．21

B ．2

1

- C ．23 D ．23-

⒌已知等差数列{}n a 的通项公式225

2-=n a n （*∈N n ），则使数列{}n a 的前n 项和n

S 最小的=n

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

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2 / 8 A

1

⒍“0>x 且0>y ”是“0>y

x ”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件 ⒎圆044222=-+-+y x y x 截直线043=+-c y x 所得的弦长为52，则常数=c

A ．1-

B ．21

C ．1或21

D ．1-或21- ⒏曲线x

x y sin =在π=x 处的切线方程是 A ．11+=x y π B ．11-=x y π C ．11+-=x y π D ．11--=x y π

二、填空题：本大题共7小题，你只需要作答6小题，每小题5分，满分30分． ㈠必做题（9～12题）

⒐已知x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+≥01x y x x y ，y x z +=2的取值范围是 ※ ．

⒑焦点为)0 , 6(1-F ，)0 , 6(2F ，且经过点)2 , 5(P 的双曲线的标准方程是 ※ ． ⒒若A B C ∆三边长分别为a 、b 、c ，内切圆的半径为r ，则A B C ∆的面积)(2

1c b a r S ++=。类比上述命题，猜想：若四面体ABCD 四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体ABCD 的体积=V ※ ．

⒓ 4)12(x

x -的展开式的常数项是 ※ （用数字作答）． ⒔如图1，平行六面体1111D C B A ABCD -中，AC 与BD

相交于M ，设 a AB =、b AD =、1c AA =，则 ⑴=1M B ※ （用a 、b 、c 表示）； ⑵若a 、 b 、 c 三向量是两两成o 60角的单位向量， 则=||1M B ※ ．

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㈡选做题（14～15题，你只需要从中选做一题）

⒕（选修2-2）一物体在力13)(+=x x F （x 的单位：m ，F 的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向从0=x 处运动到4=x 处，力)(x F 所作的功=W ※ ． ⒖（选修2-3）在某次核事故中，为了检测 受核辐射对健康的影响，随机选取了110 只羊进行检测，有关数据整理为如右表的 2×2列联表，则能以 ※ 的把握 认为羊受到高度辐射与身体不健康有关．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分13分）已知函数)cos (sin cos 2)(x x x x f +=，R x ∈． ⑴求)(x f 的最小正周期和最大值；

⑵在ABC ∆中，2)(=A f ，1=AB 、2=AC ，求BC ．

⒘（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，11=a ，84=a ． ⑴求n a ；

⑵求和n na a a a ++++ 32132．

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E A 1

⒙（本小题满分14分）如图2，长方体1111D C B A ABCD -，1==BC AB ，21=AA ，E 、

F 分别是1AA 、1BD 的中点． ⑴求四棱锥1BDD E -的体积； ⑵求EF 与平面BDE 所成角的余弦值．

⒚（本小题满分14分）已知函数x

x

y ln =

（0>x ）． ⑴求这个函数的单调递增区间；

⑵求这个函数在区间] , 1

[2e e

的最大值与最小值．

⒛（本小题满分13分）教师要从12篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格。某同学只能背诵其中的8篇．试求： ⑴抽到他能背诵的课文的数量的分布列；

⑵所抽到的3篇课文中他能背诵的课文数量的均值； ⑶他能及格的概率．

21．（本小题满分14分）已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a b

y a x 的离心率为33

，直线l ：

2+=x y 与以椭圆中心为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．

⑴求椭圆C 的方程；

⑵设垂直于 l 的直线与椭圆C 相交于P 、Q 两点，若OPQ ∆是直角三角形（其中O 是坐标原点），求直线PQ 的方程．

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5 / 8 高二理数评分参考

一、选择题 ABDC BADC

二、填空题 ⒐]23 , 0[； ⒑1162022=-y x ； ⒒)(3

14321S S S S r V +++=； ⒓24； ⒔2

121c b a -+-

（2分），25（3分）； ⒕N 28（单位1分）； ⒖%99． 三、解答题

⒗⑴12cos 2sin cos 2cos sin 2)cos (sin cos 2)(2++=+=+=x x x x x x x x x f ……2分 1)42sin(2++=π

x ……4分，

所以)(x f 的最小正周期π=T ……5分，最大值2=

M ……6分 ⑵依题意，21)42sin(2)(=++=π

A A f ，得2

2)42sin(=+π

A ……7分 π<<A 0，42424π

ππ

π

+<+<A ……8分，所以4342ππ

=+A ，4

π=A ……10分 根据余弦定理，4

cos 2222π⨯⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ……11分， 1=……12分，所以1=BC ……13分

⒘⑴设{}n a 的公比为q ，则3

14q a a =……2分，解得2=q ……3分， 所以，1112--==n n n q

a a ……5分 ⑵记12232122

)1(2322132--⨯+⨯-++⨯+⨯+=++++=n n n n n na a a a T ……6分，则n n n n T 22)1(2322212132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ……8分，前式减后式得，

n n n T 2222112⨯-++++=-- ……10分，12)1(-⨯-=n n ……11分，

所以，所求之和12)1(+⨯-=n n T ……12分

⒙⑴11DED B BDD E V V --=……1分，h S DED ⨯⨯=131……2分，BA AD DD ⨯⨯⨯⨯=12

131……4分，3

11122131=⨯⨯⨯⨯=……5分

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6 / 8 ⑵（方法一）连接AC ，设O BD AC = ，连接OF ……6分，因为BC AB =，所以，O 、E 、F 分别是)(BD AC 、1AA 、1BD 的中点，所以11////AA DD OF ，AE AA DD OF ===112

121，所以OAEF 是平行四边形……7分，因为1111D C B A ABCD -是长方体，所以⊥1AA 面ABCD ，所以BD AA ⊥1……8分，连接OE ，因为2=

=DE BE ，O 是BD 的中点，所以BD EO ⊥，又因为E EO AA = 1，所以⊥BD 面OAEF ……9分，因为⊂BD 面BDE ，所以，面⊥BDE 面OAEF ……10分，OE 是EF 在平面BDE 上的射影，OEF ∠是EF 与平面BDE 所成角……11分。

在OEF ∆中，由⊥1AA 面ABCD 及OAEF 是平行四边形知o

90=∠OFE ……12分，1==AE OF ，2221==

AC EF ，26=OE ……13分，所以，EF 与平面BDE 所成角的余弦值为3

3cos ==∠OE EF OEF ……14分． （方法二）以A 为原点，AB 、AD 、1AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……6分，则)0 , 0 , 1(B 、)0 , 1 , 0(D 、)1 , 0 , 0(E 、)2 , 1 , 0(1D ……8分，因为F 分别是1BD 的中点，所以)1 , 21

, 21(F ，)0 , 2

1 , 21( =EF ……9分，)0 , 1 , 1( -=BD ，)1 , 0 , 1( -=BE ……10分，设平面BDE 的一个法向量为) , , (c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅0

0c a BE n b a BD n ……12分，

解得平面BDE 的一个法向量为)1 , 1 , 1( =n ……13分，设EF 与平面BDE 所成角为θ，则323221

| |||sin =⨯=⋅=n EF θ，从而3

331cos ==θ……14分．

⒚⑴2//ln 1)(x

x x f y -==……2分，解0)(/=x f 得e x =……3分，当e x <<0时，0)(/>x f ……4分，当e x >时，0)(/<x f ……5分，所以函数x x y ln =

的单调递增区间是) , 0(e ……6分

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7 / 8 ⑵由⑴知，x x x f y ln )(==在区间] , 1[e e

单调递增……7分，在这个区间的最大值为e e f 1)(=……8分，最小值为e e f -=)1(……9分；x

x x f y ln )(==在区间] , [2e e 单调递减……10分，在这个区间的最大值为e e f 1)(=

……11分，最小值为222)(e e f =……12分。因为)()1(2e f e f <，所以，x x y ln =在区间] , 1[2e e 的最大值e

M 1=，最小值e m -=……14分． ⒛⑴设抽到学生能背诵的课文X 篇，则X 服从超几何分布……1分，其中12=N ，8=M ，

3=n ……2分，551)0(3123408===C C C X P ……3分，5512)1(312

2418===C C C X P ……4分，5528)2(3121428===C C C X P ……5分，5514)3(312

0438===C C C X P ……6分，所求分布列为 ……7分

⑵学生能背诵的课文数量的均值为

)3(3)2(2)1(1)0(0=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=X P X P X P X P EX ……8分

255

14355282551215510=⨯+⨯+⨯+⨯=……10分 ⑶学生能及格的概率为)3()2()2(=+==≥X P X P X P ……12分，55

42=……13分． 21. ⑴以椭圆C 的中心为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆为22

2b y x =+……1分，由直线2+=x y 与此圆相切得b =+-2|

200|，2=b ……3分，由a

b a a

c e 2233-===，解得3=a ……5分，所以，椭圆C 的方程为12

32

2=+y x ……6分 ⑵若O 非直角顶点，不妨设PQ OP ⊥，因为PQ l ⊥，所以l OP //……7分，从而直线OP 的

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8 / 8 方程为x y =……8分，解⎪⎩

⎪⎨⎧==+x y y x 1232

2得)530 , 530(P 或)530 , 530(--P ……9分，直线PQ 的方程为05

302=±+y x ……10分 若OQ OP ⊥，因为PQ l ⊥，所以设PQ ：m x y +-=……11分，由⎪⎩

⎪⎨⎧+-==+m x y y x 1232

2得 0636522=-+-m mx x ，由一元二次方程求根公式得0)63(54)6(22>-⨯⨯--m m 且

5

6m x x Q P =+，5632-=⋅m x x Q P ……12分，由OQ OP ⊥得0=⋅，即 05

12))((2=-=+-+-+=+⋅m m x m x x x y y x x Q P Q P Q P Q P ……分，解得5152±=m ， 符合0)63(54)6(22>-⨯⨯--m m ，所以直线PQ 的方程为05152=±

+y x ……14分