第二章 弹性力学基础(补充知识)平面弹性问题基本方程总结： xx yx X 0 y 2个应力平衡微分方程： x xy yy Y 0 x y

3个应变和位移的关系式：

u v v u xx , yy , xy x y x y xx xy1 xx yy , yy 1 yy xx E E 2 1 xy E

3个应力-应变关系式：

这8个方程称为弹性平面问题的基本方程，它包含8个未知数。1

第二章 弹性力学基础(补充知识)(6) 边界条件(偏微分方程组的边值问题)对上述8个方程包含8个未知数，还需要补充边界条件才能求解。 对弹性体受力问题，其边界条件分为位移已知边界、应力(面力) 已知边界和混合边界三类。

在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移分量u,v是已知的，即 在边界上：u=us, v=vs

其中，us和vs分别为边界上坐标的已知函数。如结构体某点处处于固 定约束，即为u=0和v=0边界；接触边界上给定压头的位移数值等。

外力已知边界条件如果孔边没有载荷, 则 Tx 和 Ty 必 须都 = 0. 此时则有,

Ty

Tx

n

y x

xx Tx 0 xy Ty 0在给定点孔边的单位法向是水平的

一般情况下孔边法向不会对准 X-Y. 黄色三角形的平衡关系要求:

y

xTy xx xy3

n

Tx xx l xy m 0 Ty xy l yy m 0此时单位法向是:

Tx yy

n li mj

对称平面

zy

假设有: 几何 载荷 材料性能 边界条件 关于平面Y = 0 是对称的, 则在该平面上任何位置有 yx

yz

x

yx yz 0

第二章 弹性力学基础(补充知识)(6) 边界条件弹性平面问题的基本方程总结如下： 2个平衡方程； 3个几何方程； 3个物理方程(分别针对平面应力和平面应变问题); 2个应力边界条件； 共计8个方程，2个边界条件。 未知参量有8个： 3个应力分量： xx, yy, xy; 3个应变分量： xx, yy, xy; 2个位移分量：u, v。 这些参数均为坐标x,y的函数。

边值问题的解 (1)

在固体力学中确定位移, 应变, 应力 需要进行边值问题 求解 已知:

几何形状, 材料性能, 表面边界条件 位移边界条件 (支撑条件) 构造和求解一组相互偶合的偏微分方程组(PDEs) 对许多实际问题, 这些方程是线性的

u x, y , v x, y ?

y x

x x , y , y x , y , xy x , y ?

x x , y , y x , y , xy x , y ?

边值问题的解 (2) 边值问题解包括的方程

应变-位移方程 应力平衡方程 应

变相容性方程 Hooke定律 (本构关系) 表面力边界条件 (Cauchy) 位移边界条件 (support conditions) 传统方法 ( 用解析法求解PDEs) 数值方法 ( 用有限元法求解PDEs)

求解方法

第二章 弹性力学基础(补充知识)(7) 边界条件简化-圣文南原理圣维南指出：如果用“静力等效”的力系来替代原来作用在弹性体 “局部边界”上的力系，那么在新的力系作用下，仅在此局部边界 附近的应力分布有显著的改变，而对远处的各点应力分布的影响可 以忽略不计。这就是弹性力学中简化边界条件的圣维南原理。

第二章 弹性力学基础(补充知识)(6) 边界条件

xx yx X 0 y 2个应力平衡微分方程： x xy yy Y 0 x y

3个应变和位移的关系式： u v v u xx , yy , xy 几何方程:

x

y

x

y

3个应力-应变关系式： 物理方程:

xx xy

1 xx yy , yy 1 yy xx E E 2 1 xy E

9

这8个方程称为弹性平面问题的基本方程，它包含8个未知数 。

第二章 弹性力学基础(补充知识)(7) 弹性平面问题求解方法在弹性力学求解问题中，根据所选择的基本未知参量不同有三 种求解方法： (1)、位移法 (2)、应力法 (3)、混合法

第二章 弹性力学基础(补充知识)(7) 弹性平面问题求解方法位移法：以位移作为基本未知参量，将基本方程中的各参量都用位 移分量u,v进行替换。 如对平面应力问题，由物理方程列出求解应力分量的关系式：

E xx yy , xx 2 1 E yy xx , yy 2 1 E xy xy , 2 1 11

第二章 弹性力学基础(补充知识)(7) 弹性平面问题求解方法将几何方程代入上式可得：

u v xx x y , E v u , yy 2 1 y x E v u , xy 2 1 x y E 1 212

第二章 弹性力学基础(补充知识)(7) 弹性平面问题求解方法再将上式代入平衡微分方程，约简后可得：

E 2 u 1 2 u 1 2 v 2 X 0, 2 2 1 x 2 y 2 x y 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0, 1 2 y 2 x 2 2 x y 按位移法求解弹性平面问题，还必须处理位移分量的两个二阶偏微 分方程，不能简化为一个单独的

常微分方程进行求解，这是位移法的局 限性。 但位移法具有普遍适用意义，适用于任意边界及体力的情况，从未 知参量性质讲，位移是最直接、最基本的物理参量，位移确定时则整个 结构的应力和应变分量完全确定。 在有限元法中，按位移法推导计算公式具有简单、普遍适用的特点。13

第二章 弹性力学基础(补充知识)(7) 弹性平面问题求解方法应力法：以应力参量作为基本未知参量，从几何方程中消去位移分量， 再结合物理方程得到一个应力分量的关系，与平衡微分方程联立，得到 以三个应力分量为参量的控制方程。 具体推导如下： 由应力平衡微分方程：已有2个包含3个应力参量的方程； 还需要补充一个包括应力的方程即可，如何补充？

xx yx X 0 x y 需要补充一个应力参量方程？ xy yy Y 0 x y 14

应变: 相容性或协调性方程

考虑二维(2-D)情况 位移是 u(x,y) 和 v(x,y) 但是有 3 应变 ( xx , yy , xy ) 计算从 仅有的 2 位移分量 在这 3 个应变分量中必 须存在某种关系 这就是应变相容性(协调 性)方程，即，计算可得： 2 xy x y

u v v u xx , yy , xy x y x y 2

u v xx y x y 2 x 2 x y 2

2 yy

第二章 弹性力学基础(补充知识)(7) 弹性平面问题求解方法变形协调方程：物理含义是弹性体内部任一点应变满足该方程时， 弹性体在在外力作用下变形后才能保证仍是连续体，不会出现间隙 和重叠：

2 ( xy )

xx 2 x y y x 22

2 yy

对平面应力情况将物理方程代入变形协调方程可得：

xx yy 2 yy xx 2 1 2 y x x y2 216

2 xy