同济大学2011年数学分析考研试题

2011 同济大学研究生入学考试 数学分析

一、（15）a1>b1>0,an+1=an+bn,bn+1证明：liman与limbn皆存在且相等。n→∞n→∞

二、（15）设函数f(x)在[0,∞)上一致连续，且 x∈[0,∞)有limf(n+x)=0证明:limf(x)=0n→∞n→∞

x三、（15）设函数S(x)=∫cost，求lim0x→∞S(x)x

四、（10）设函数f(x)在点x0的左右导数存在，且满足 f′+(x0)>0，f′ (x0)<0，证明x0是f(x)的极小值点。

∞f(x)1=0，证明级数∑f()绝对收敛。xnn=1五、（15）设f(x)在[ 1,1]上具有二阶连续导数，且limx→0

六、（20）设f(x)=∑1f(x)在[0,∞)上可导，且一致连续。

n=02+xn

∞lnf(x)= λ，则当λ>1时，f(x)dx收敛。∫1x→+∞lnx∞七、（15）设f(x)在[0,∞)上连续且在[0,∞)上f(x)>0，证明：如果lim

x2y2

八、（15）计算∫∫∫zdv，其中 为介于椭圆面++z2=1与球面x2+y2+z2=1之间的区域。44 2

九、（15）计算Ι=∫(x2+2xy)dx+(x2+x4)dy，其中L为由点Ο(0,0)到点A(1,1)的曲线y=sinLπx2

十、（15）设函数u(x,y)在R2内有二阶连续偏导数且

2π为周期的函数，证明F(y)=∫（[0d2π 2u 2u+=0，而u(x,y)的一阶偏导数对任意固定的y∈R时x的以 x2 y2 u2 u2 (]dx≡C(常数)，y∈R x y