专题高效升级卷15 圆锥曲线中的探索性问题

一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分)

x2 y2 1. 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线为 l1、l2,过右焦点且垂直于 x b a轴的直线与 l1、l2 所围成的三角形面积为( )

2a 3 2b3 A. a答案：D

2a 2b 2b 3 B. a

a 3 b3 C. a

a 2b b 3 D. a

2.AB 是某平面上一定线段，点 P 是该平面内的一动点，满足| PA |-| PB |=2,| PA -

PB |=2 5 ,则点 P 的轨迹是(A.圆 答案：B

) C.椭圆的一部分 D.抛物线

B.双曲线的一支

3. 过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：C

4.

<4x0 的点M(x0,y0)在抛物线内部，若M(x0, y0)在抛物线内部，则直线l:y0y=2(x+x0) 与曲线C( ) A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点 C.可能有一个公共点也可能有两个公共点 D.没有公共点 答案：D

2 2=4x,我们称满足 y0 对于抛物线C:y

5.如图，过抛物线y2=4x的焦点的直线依次交 抛物线与圆(x-1)2+y2=1于A,B,C,D 四点，则|AB|· |CD|等于( )

A.1 C.3 答案：A

B.2 D.4

6.设双曲线 - =1与 - =1的四个顶点 构成的四边形面积为S1,四个焦点构成的四 S 边形面积为S2,则 的最小值是( ) S A.1 B.2 C.4 D.8 答案：By2 b2 x2 a22 1

x2 a2

y2 b2

7. 过双曲线 - =1(a>0,b>0)的一个 焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M,延长 FM交y轴于E,若|FM|=2|ME|,则该双曲线 的离心率为( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2 答案：Cy2 b2

x2 a2

8.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2 +(y-4)2=1上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小 值是 ( ) A.5 B.8 C. 17 -1 D. 5 +2 答案：C

9. 设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛 物线上一点，PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的 斜率为- 3 ,那么|PF|=( ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 答案：B

10. 已知椭圆 + =1的左顶点为A1,右焦 PF PA 点为F2,点P为该椭圆上一动点，则 PF PA 当 · 取最小值时，| + |的值为( ) A.2 2 B.3 C.2 3 D. 13 答案：B2 1 2 1

x2 4

y2 3

11. 已知抛物线y2=4x,过焦点的弦AB被焦点 分成长为m、n(m≠n)的两段，那么( ) A.m+n=mn B.m-n=mn C.m2+n2=mn D.m2-n2=mn 答案：A

12. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该 FA 抛物线上三点.若 FB FC + + =0,则| |+| FA FB |+| FC |等于( ) A.9 B.6 C.4 D.3 答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共 16分) 13. 如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA= 30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE,则 以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的 离心率的倒数和为_____.

答案： 3

14. 已知点P是双

曲线 - =1上除顶点外的 任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半 焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M,则 |F1M|· 2M|=_____. |Fx2 a2

y2 b2

答案：b2

15. 已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线 与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2) 两点，则y12+y22的最小值是_____. 答案：32

16. 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F且斜 率为1的直线交C于A、B两点.设 |FA|> |FB|,则|FA|与|FB|的比值等于_____. 答案：3+2 2

三、解答题(本大题共4小题，每小题9分，共 36分) x y 17. 设b>0,椭圆方程为2b + =1,抛物线 b 方程为x2=8(y-b).如图所示，过点F(0, b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限 的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭 圆的右焦点F1.22

2

2

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程. (2)设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点， 试探究在抛物线上是否存在点P,使得 △ABP为直角三角形?若存在，请指出共有几 个这样的点，并说明理由(不必具体求出这 些点的坐标).

解法一：(1)由 y b 2, 易得点G的坐标为 x 8( y b), (4,b+2), y b 2 抛物线在点G处的切线方程为4x=8( 2 - b), b 又F1的坐标为(b,0),4b=8( 2 -b), 2 ∴b=1. 椭圆方程为 x2 +y2=1,抛物线的方程为x2=8 (y-1).2

2

(2)共有四个点. 分别过A、B作x轴的垂线交抛物线于P1、P2, 则得到两个直角三角形△ABP1、△ABP2. 以AB为直径的圆显然与抛物线有两个交点P3、 P4, 则又得到两个直角三角形△ABP3、△ABP4. 1 解法二：(1)由x2=8(y-b)得y= x2+b. 8 当y=b+2时，x=±4,∴G点的坐标为(4,b +2).y′=1 x,y′|x=4=1, 4