原创精品初高中数学衔接教材

初中升高中 衔接教材·数学

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第一篇 初高中基础知识衔接 专题1 数与式的运算 1.1绝对值与绝对值不等式

【衔接目标】

绝对值不等式，初中没作要求，高中的要求比较高，因此通过本节的学习要掌握绝对值不等式的解法。

【课前·复习导引】 1、绝对值的意义

（1）、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

a,a 0,

|a| 0,a 0,

a,a 0.

（2）、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）、两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

2、绝对值不等式

根据绝对值的意义可得到：

x a(a 0) x -a,或x a；x a(a 0) a x a。

【课堂·典例探究】 类型一、绝对值的意义

【例1】已知x 2 y 2 0，则xy的值为 【解析】又

x 2 0,y 2 0

x 2 y 2 0， x 2 0,y 2 0

x 2,y 2,xy 4

【答案】-4

【规律方法】实数x的绝对值x的几何意义是表示数轴上表示x的点与原点的距离，它是一个大于等于0的实数。 【变式训练】

1．如果 2a 2a，则a的取值范围是a 0 【解析】由绝对值的含义得 2a 0， a 0 【答案】a 0

类型二、绝对值不等式

【例2】解关于x的不等式x 2 2x 4。 解法一、原不等式等价于

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x 2 0 x 2 0

，或

x 2 2x 4 (x 2) 2x 4

2

解得x的取值范围为x

3

解法二、原不等式等价于x 2 2x 4,或x 2 (2x 4)，

2

解得x的取值范围为x

3

【规律方法】（1）f(x) g(x)解法：

f(x) 0 f(x) 0f(x) g(x) ,或 f(x) g(x),或f(x) g(x)；

f(x) g(x) f(x) g(x)

（2）f(x) g(x)解法： f(x) 0 f(x) 0

f(x) g(x) ,或 g(x) f(x) g(x)

f(x) g(x) f(x) g(x)

解绝对值不等式的关键是去掉绝对值。

【变式训练】

1

x 7 3

【解析】原不等式等价于 (x 4) 3 2x x 4，

1

x 7

3

2.关于x的不等式3 2x x 4的解是

【例3】解不等式：x 1 x 3＞4．

解法一：由x 1 0，得x 1；由x 3 0，得x 3； ①若x 1，不等式可变为 (x 1) (x 3) 4， 即 2x 4＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0； ②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x； ③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4， 即2x 4＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

解法二：如图1．1－1，x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

|x－3| 所以，不等式x x 3＞4的几何意义即为

|PA|＋|PB|＞4．

由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．所以x＜0，或x＞4．

【规律方法】含有两个绝对值的不等式的常用解

|x－1|

图1．1－1

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法有根据绝对值的代数意义或几何意义去掉绝对值符号。 【变式训练】

3. 式子x x 3的最小值为

【解析】由本例解法二可知，当点P位于线段AB上时，式子有最小值|AB|＝2。 【答案】2

【课堂强化】

1

【解析】 a可以等于0；两个数互为相反数时，它们的绝对值也相等；若a b，则

a b。

【答案】D 2.

【解析】由于数b表示的点到O点的距离更大，所以选D 【答案】D

3若x 5，则x=____ 5_____；若x 4，则x=____ 4_____. 【答案】 5， 4

4.如果a b 5，且a 1，则b＝________；若 c 2，则c＝________. 【解析】b 5 a 4, b 4；由 c 2得1 c 2, c 1或3 【答案】 4； 1或3 5.解下列关于x的不等式

（1）22x 1；（2）x 2 x

4x 2 1， x 【解】（1）原不等式等价于4x 2 1，或 4x 2 1，

13

，或x 44

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（2）原不等式等价于 (2 x) x 1 2 x， x

【课后·检测评价】 一、选择题

1.若 2 x，则x的值为（ ）

1 2

A.2 B.－２ Ｃ． 2

【答案】Ａ ２

.

【答案】C

3.下列叙述正确的是 （ ）

（A）若a b，则a b （B）若a b，则a b （C）若a b，则a b （D）若a b，则a b

【解析】若a b，则a b；若a b，则a,b大小不确定；若a b，则a,b大小不确定. 【答案】D

4

【解析】由已知得

【答案】A

二、填空题

5.化简：|x－5|－|2x－3|（x＞5）【解析】

x 5, x 5 0,2x 3 0

所以原式=x 5 2x 3 3x 18 【答案】

6.已知a 3,b 2,c 1，且a b c，则a b ，c 。 【解析】因为a 3,b 2,c 1，且a b c，所以a 3,b 2,c 1 【答案】a 3,b 2,c 1 三、解答题

7、解下列不等式

（1）4 2x 3 7；（2）x 2 x 。

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【解】（1）原不等式可化为4 2x 3 7，或 7 2x 3 4，

17

2 x ，或 x 5

22

（2）原不等式可化为x 2 x 1，所以x

2

2

1

2

8、【解】

综上可得不等式的解为0 x 6