圆锥曲线

一、选择题

1、抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆x2 4y2 1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（ ）

(A) y=±

2x 23x 3

(B) y=±3x

(C) y=± (D) y=±2x

7、已知A、B、C三点在曲线y

（A）2 (B) (C)

x上，其横坐标依次为1，m，4(1 m 4),当 ABC的

3

(D) 24

面积最大时，m的值为（ ）

(A) 3 (B)

x2y2

2、直线y kx 1(k R) 与椭圆 1恒有公共点，则m的取值范围是（ ）

5m

（A）[1，5)∪（5，+∞） （B）（0，5） (C) 1, (D) （1，5）

3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y x 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为

593 (C) (D) 242

x2y2

1有一点P,F1,F2是椭圆的左右焦点, F1PF2为直角三角形，则这样8、在椭圆

4520

的点P有（ ）

(A) 2个 (B) 4个 (C)6个 ( D) 8个

2

，则此双曲线的方程是（ ） 3

x2y2x2y2

9、已知双曲线2 2 1和椭圆2 2 1(a 0,m b 0)的离心率互为倒数，那

abmb

么以a,b,m为边长的三角形是（ ）

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐或钝角三角形

x2y2x2y2

（A） 1 1 （B）

4334

x2y2x2y2

（C） 1 1 （D）

25524、 若双曲线

xy

2 1的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合，则双曲线的离心率为8b

22

x2

y2 1右支上除顶点外的任意一点，F1，F2为其两焦点，则10、设点P为双曲线4

（ ）

(A)

F1PF2的内心M在（ ）

(A)直线x 2 上 (B)直线 x 1 上 (C) 直线 y 2x 上 (D)直线 y x 上 二．填空题

2 (B) 22 （C） 4 (D) 42

5、过定点P(0,2)作直线l，使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（ ）

(A) 1条

(B) 2条

(C) 3条

(D) 4条

11、已知椭圆a2x2

a2

y 1的焦距为4，则a的值为____________ 2

x2y2

6. 已知F1、F2为双曲线2 2=1(a＞0,b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，它

ab

与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2=30°，则双曲线的渐近线方程为（ ）

x2y2

1的右焦点，12、设F是椭圆且椭圆上至少有21个不同的点P（2、3、…），ii=1、76

P1F，P2F，P3F，…组成公差为d的等差数列，则实数d的取值范围是 .

三、解答题

13、已知椭圆C的焦点分别为F1(-22,0)和F2(22,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

14、如图，线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求该抛物线的方程。

15、．直线l：y kx 1与双曲线C：2x2 y2 1的右支交于不同的两点A、B。 （Ⅰ）求实数k的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值。若不存在，说明理由。

17、设x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8．

(1)求点M (x，y)的轨迹C的方程；

(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP OA OB，是否存在这样的直线

l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

18、在△ABC中，A点的坐标为（0，3），BC边的长为2，且BC在x轴上的区间［－3，3］上滑动.

（1）求△ABC的外心P的轨迹方程；

x2y2

16、如图，P为双曲线2 2 1（a、b为正常数）上任一点，过P点作直线分别与双曲线

ab

的两渐近线相交于A、B两点．若

． 1 |EF|

（2）设直线l：y=x+b与P的轨迹交于E、F点，原点O到直线l的距离为d，求

（1）求证：A、B两点的横坐标之积为常数； （2）求△AOB的面积（其中O为原点）．

3d

的最大值，并求此时b的值.

因为该二次方程的判别式△>0，所以直线与椭圆有两个不同交点。 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1+x2= -

18, 5

91,)。 55

②

故线段AB的中点坐标为(-

16. 解 设所求抛物线方程为 y2=2px(p>0)。 ①

若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为：y=k(x-m)(k≠0)， 由①，②消去x，得y2-

2p

y-2pm=0 k

③

a2b2

设A、B的坐标分别为A(,a),B(,b)。

2p2p

参考答案

一、选择题

则a,b是方程③的两个根。 ∴ab= -2pm，

又|a|·|b|=2m，即ab=-2m， ∴由-2pm= -2m(m>0)得p=1, 则所求抛物线方程为y2=2x。

若AB垂直于x轴，直线AB的方程为x=m,A、B两点关于x轴对称，

2

故yA=2pm,2m=2pm,

二、填空题 11.

111 12. 4 13. b＝１或３ 14. [ ,0] (0,]41010

三、解答题

又m≠0，∴p=1，

则所求抛物线方程为y2=2x。 综上，所求抛物线方程为y2=2x。

17. 解：（Ⅰ）将直线l的方程y kx 1代入双曲线C的方程2x2 y2 1后，整理得

x2y2

15. .解 设椭圆C的方程为2+2=1，

ab

由题意知a=3,c=22，于是b=1。

x2

y2 1。 ∴椭圆C的方程为9 y x 2 2由 x2 得10x+36x+27=0 2

y 1 9

(k2 2)x2 2kx 2 0。…………①

k2 2 0 22 (2k) 8(k 2) 0 2k依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，则 2 0

k 2

2

0 2

k 2

解得k的取值范围为 2 k 2。

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则由①得

22

x0y0

又因为P点在双曲线上．所以2 2 1，

ab

(x1 2x2)2(x1 2x2)292

1 xx a为常数． 12

9a29a28

（2）又∠AOX ，则tan

b

,|OA| x1，|OB| x2 acos cos

S AOB

x11x

|OA| |OB| sin2 1 2 sin2 22cos cos

92b9

a ab 8a8

2k

x x 122 k2

②

2 x x

122 k 2

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得

x1x2tan

19. 解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8 ∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8 x2y2

∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为 1

1216

(x1 c)(x2 c) y1y2 0。

既(x1 c)(x2 c) (kx1 1)(kx2 1) 0。

整理得(k2 1)x1x2 (k c)(x1 x2) c2 1 0。…… ③

（2）l过y轴上的点(0，3)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点 ∴OP OA OB 0，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾． ∴直线l的斜率存在，设l方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B (x2，y2)

把②式及c 代入③式化简得5k2 26k 6 0。

2

解得k

y kx 3 由 x2 得：(4 3k2)x2 18kx 21 0 y2

1 1216 此时， (18k)2 4(4 3k2)( 21) 0恒成立， 且x1 x2

6 6 或k ( 2, 2)（舍去）。 55

6 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。 5

可知k

18k21

，xx 124 3k4 3k

∵OP OA OB，∴四边形OAPB是平行四边

若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即OA OB 0 ∴ x1x2 y1y2 0

18. 解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x0，y0）．

APx 2x2y 2y2b b

2，所以1 x0，1 y0．又y1 x1，y2 x2． PB33aa

bb

所以y1 2y2 (x1 2x2)．从而y0 (x1 2x2)．

a3a

因为

即(1 k2)x1x2 3k(x1 x2) 9 0 (1 k2)( 解得：k

4

2118k

) 3k( ) 9 0

4 3k24 3k2

|EF|135

=时，()max=. b43d|EF|45所以的最大值是,此时b=.

33d

当

∴存在直线l：y

x 3，使得四边形OAPB是矩形． 4

20. 解：（1）设B，C的坐标分别为B(t,0),C(t－2,0)(－1≤t≤3), 则线段BC的中垂线方程为x=t－1, ①

t33,）,AB斜率为 (t≠0), 22 t

3tt

所以线段AB的中垂线方程为y－=(x－) ②

232

AB中点（

由①②得：x2=6y－8(－2≤x≤2且x≠－1) ③ 当x=－1时，t=0时，三角形外心P为(－1,所以P点的轨迹为x2=6y－8(－2≤x≤2)

3

),适合③； 2

1

y x b

（2）由 得x2－2x－6b+8=0(－2≤x≤2) ④ 3

x2 6y 8

x1x2=8－6b,x1+x2=2

2

所以｜EF｜= ()

13

(x1 x2)2 4x1x2=

23

6b 7

2b 7

|EF||EF|

又因为d=,所以

3|b|d

=

209 7620

=2

b9b139

7( )2

b77

因方程④有两个不相同的实数根，设f(x)=x2－2x－6b+8

0

74316

f(2) 0,∴＜b≤,≤＜.

34b7 f( 2) 06