人教A版必修四课件

2.3

平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

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问题提出

t

1 5730 p 2

1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa?(1)|λ a|=|λ ||a|; (2)λ >0时，λa与a方向相同；

λ<0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.

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3.平面向量共线定理是什么？非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ,使b=λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G,下滑力为F1,木块对斜面的压 力为F2,这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？F1

G

F2

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5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算.力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和.将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论.

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探究(一):平面向量基本定理

思考1:给定平面内任意两个向量e1,e2, 如何求作向量3e1+2e2和e1-2e2?e1-2e2e2 e1 2e2 B C

O

e1 D

3e1 A

3e1+2e2

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思考2:如图，设OA,OB,OC为三条共 点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB 上分别找一点M、N,使四边形OMPN为平 行四边形？BN O P C

M

A

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思考3:在下列两图中，向量 OA, OB, OC

不共线，能否在直线OA、OB上分别找一 uuu r uuu r uuu r 点M、N,使 OM + ON = OC ?B N O C N B

C

A

M

A

O

M

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BN O

B C NC

思考4:在上图中，设 OA=e1,OB=e2, OC =a,则向量 OM, ON 分别与e1,e2的

A

M

A

O

M

关系如何？从而向量a与e1,e2的关系如 何？ a e e .OM 1e1 , ON 2e2 .1 1 2 2

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BN O

B C NC

uuur OM = uuu r ON =

A

M

A

O

M

OM 1e1 , ON 2e2 , a 1e1 2e2

思考5:若上述向量e1,e2,a都为定向量， 且e1,e2不共线，则实数λ1,λ2是否存在？ 是否唯一？

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思考6:若向量a与e1或e2共线，a还能用 λ1e1+λ2e2表示吗？ e1

ae2 a

a=λ1e1+0e2

a=0e1+λ2e2

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思考7:根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1,e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ 2,使a=λ1e1+λ2e2.

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若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a,有且只有 一对实数λ1,λ 2,使a=λ1e1+λ2e2.

思考8:上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底

的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？

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探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示

思考1:不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b,作 OA a,OB b, 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？B a b b

[0°,180°]a

O

A

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思考2:如果向量a与b的夹角是90°,则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？b a

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思考3:把一个向量分解为两个互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.如图，向 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i、 j为基底，向量a如何表示？B P A

a 2 3i 2j

a

jO i