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第四节最新考纲展示

数列求和2.掌握非等差、 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

1 .熟练掌握等差、等比数列的前 n项和公式.

等比数列求和的几种常见方法.

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一、公式法 1.如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、

等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q=1或q≠1. 2.一些常见数列的前n项和公式： 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

(1)1+2+3+4+ +n= n n+1 . 2 (2)1+3+5+7+ +2n-1= n2 .(3)2+4+6+8+ +2n= n2+n .

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二、非等差、等比数列求和的常用方法 1.倒序相加法 如果一个数列 {an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的

前n项和即是用此法推导的.2.分组转化求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和

的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减.

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3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前 n项和就是用此法推导的.

4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和.

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数列求和的方法：(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后 通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的 形式，从而选择合适的方法求和. (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一 思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成. ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错 位相减法、倒序相加法等来求和. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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一、公式法求和 1 1.已知{an}为等差数列

,Sn 为其前 n 项和，若 a1=2,S2=a3,则 S40=( ) B.390

A.290

山 C.410 D.430 东 金 1 解析：设数列{an}的公差为 d.∵S2=a3,∴2a1+d=a1+2d,∴d=2, 太 阳 书 1 40×39 1 业 ∴S40=40×2+ 2 ×2=410. 有 限 公 答案：C 司菜 单 隐 藏

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2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,且an+2an+1+an+2=0(n∈N *),则S 2 014=________.

解析：设等比数列{an}的公比为q,则an+2an+1+an+2=an(1+2q +q2)=0,∵an≠0,∴q2+2q+1=0. 解得q=-1,∴S2 014=0. 答案：0 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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二、非等差、等比数列求和的常用方法 3.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1,则其前 n 项和 Sn= a1-an+1 .( 1-q ) )

山 东 金 2 3 n (3)求 Sn=a+2a +3a + +na 之和时只要把上式等号两边同时乘 太 阳 以 a 即可根据错位相减法求得.( ) 书 业 1 1 2 有 (4)数列 ) n+2n-1 的前 n 项和为 n + n.( 2 2 限 公 司菜 单 隐 藏

1 1 1 1 - (2)当 n≥2 时， 2 =2 n-1 n+1 .( n -1

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(5)若数列 a1,a2-a1, ,an-an-1 是首项为 1,公比为 3 的等比 3n-1 数列，则数列{an}的通项公式是 an= 2 .( )山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21° +sin22° +sin23° + +sin288° +sin289° =44.5.(答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√

)

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1 1 1 1 4. 数列 ， , , , , 的前 n 项和为________. 2×4 4×6 6×8 2n 2n+2 1 1 1 1 - 解析：因 an= = 2n 2n+2 4 n n+1 1 1 1 1 1 1 1 - + - + + - 则 Sn=4 2 2 3 n n + 1 1 1 n 1 - =4 n+1 =4 n+1 . n 答案： 4 n+1

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分组转化法求和(自主探究)例1 (1)已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,

q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.①求p,q的值； 山 (2)已知数列{an}的通项公式是an=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(- 东 金 n 1) nln 3,求其前n项和Sn. 太 阳 4 解析 (1)①由x1=3,得2p

+q=3,又因为x4=2 p+4q, 书 业 x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q,解得p=1, 有 限 q=1. 公 司菜 单 隐 藏

②求数列{xn}前n项和Sn的公式.

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②由①,知 xn=2n+n,所以 Sn=(2+22+ +2n)+(1+2+ +n) =2n+1

n n+1 -2+ 2 .

(2)Sn=2(1+3+ +3n-1)+[-1+1-1+ +(-1)n](ln 2-ln 3)+

山 1-3n n [-1+2-3+ +(-1) n]ln 3,所以当 n 为偶数时，Sn=2× + ln 3 东 1-3 2 金 太 n 阳 =3n+2ln 3-1; 书 业 有 限 公 司n

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n-1 1-3n n-1 ln 3=3n- 当 n 为奇数时， Sn=2× -(ln 2-ln 3)+ - n 2 1-3 2

ln 3-ln 2-1.

3n+nln 3-1,n为偶数， 2 综上所述，Sn= 3n-n-1ln 3-ln 2-1,n为奇数. 2规律方法 求解. (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项 数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式. (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通 过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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裂项相消法求和(师生共研)2 例 2 (2013 年高考江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足： S2 n-(n

+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an;n+1 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明：对于任意的 n+2 2a2 n 5 n∈N ,都有 Tn<64.*

解析 (1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0, 得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.

由于{an}是正项数列，所以Sn>0,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,当n≥2时，菜 单 隐 藏

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an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上，数列{an}的通项公式为an=2n.n+1 (2)证明：由于 an=2n,bn= , n+2 2a2 n 1 n+1 1 1 - 2 则 bn= 2 = 2 . 4n n+2 2 16 n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 - + - + - + + 2 2 2 2 2 Tn=16 2- 3 2 4 3 5 n - 1 1 1 1 + - 2 n+1 2 n n+2 2 1 1 1 1 1 1 5 =16 1+22- n+1 2- n+2 2 <16 1+22 = 64.

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规律方法

使用裂项法求和时，要注意正负项相

消时消去了哪些 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后 对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.

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