2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4

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1.1.2 弧度制

学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换(重点).2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式(重、难点)．

知识点1 弧度制

1．度量角的两种制度

2．弧度数的计算

(1)正角：正角的弧度数是一个正数．

(2)负角：负角的弧度数是一个负数．

(3)零角：零角的弧度数是0．

(4)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r ．

3．角度制与弧度制的换算

【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．( )

(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( )

(3)160°化为弧度制是89π rad.( )

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2 提示 (1)×，1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角．

(2)√，“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．

(3)√，160°＝160×π180 rad ＝89

π rad ． 知识点2 扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则

【预习评价】

圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是________．

解析 因为15°＝π12，所以面积S ＝12αR 2＝12×π12×36＝32π(cm 2)． 答案 32

π(cm 2)

题型一 角度与弧度的互化及应用

【例1】 将下列角度与弧度进行互化：

(1)20°；(2)－800°；(3)7π12；(4)－45π． 解 (1)20°＝20×π180＝π9

； (2)－800°＝－800×π180＝－409

π； (3)7π12＝(7π12×180π

)°＝105°； (4)－45π＝－(45π×180π

)°＝－144°． 规律方法 角度制与弧度制互化的原则和方法

(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝(180π

)°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·(180π)°；n °＝n ·π180

．

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3 【训练1】 (1)把112°30′化成弧度；

(2)把－5π12

化成度． 解 (1)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8

． (2)－5π12＝－5π12×(180π

)°＝－75°． 题型二 用弧度制表示角的集合

【例2】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．

解 (1)以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )，以OB 为终边的角为－2π3

＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6

＋2k π，k ∈Z }． (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是{α|2π3＋2k π<α<7π6

＋2k π，k ∈Z }． 规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤

(1)仔细观察图形．

(2)写出区域边界作为终边时角的表示．

(3)用不等式表示区域范围内的角．

【训练2】 已知角α＝2 010°．

(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；

(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．

解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6

， 又π<7π6<3π2

， ∴α与7π6

终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6

＋2k π(k ∈Z )，

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4 又－5π≤γ＜0，

∴当k ＝－3时，γ＝－296

π； 当k ＝－2时，γ＝－176

π； 当k ＝－1时，γ＝－56

π． 题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用

【例3】 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．

解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r ．

∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2

r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216

． ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2

， ∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2， ∴α＝l r ＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为a 216

． 规律方法 扇形弧长、面积问题的解决方法

(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：

一是S ＝12lr ＝12

|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个． (2)解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解．

提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S 转化为关于R 的二次函数，但要注意R 的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πR ．

【训练3】 已知扇形AOB 的周长为10 cm ．

(1)若这个扇形的面积为4 cm 2

，求扇形圆心角的弧度数；

(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．

解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ， (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝10，①12

lr ＝4，② ①代入②得r 2－5r ＋4＝0，

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5 解得r 1＝1，r 2＝4．

当r ＝1时，l ＝8 cm ，此时，θ＝8 rad>2π rad ，舍去；

当r ＝4时，l ＝2 cm ，此时，θ＝24＝12

rad ． (2)由l ＋2r …… 此处隐藏：2021字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……