2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 新人教A版必修4

时间:2025-07-11

2018-2019

1.1.2 弧度制

学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换(重点).2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式(重、难点).

知识点1 弧度制

1.度量角的两种制度

2.弧度数的计算

(1)正角:正角的弧度数是一个正数.

(2)负角:负角的弧度数是一个负数.

(3)零角:零角的弧度数是0.

(4)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=l r .

3.角度制与弧度制的换算

【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧.( )

(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( )

(3)160°化为弧度制是89π rad.( )

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2 提示 (1)×,1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.

(2)√,“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.

(3)√,160°=160×π180 rad =89

π rad . 知识点2 扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R ,弧长为l ,α(0<α<2π)为其圆心角,则

【预习评价】

圆的半径是6 cm ,则圆心角为15°的扇形面积是________.

解析 因为15°=π12,所以面积S =12αR 2=12×π12×36=32π(cm 2). 答案 32

π(cm 2)

题型一 角度与弧度的互化及应用

【例1】 将下列角度与弧度进行互化:

(1)20°;(2)-800°;(3)7π12;(4)-45π. 解 (1)20°=20×π180=π9

; (2)-800°=-800×π180=-409

π; (3)7π12=(7π12×180π

)°=105°; (4)-45π=-(45π×180π

)°=-144°. 规律方法 角度制与弧度制互化的原则和方法

(1)原则:牢记180°=π rad ,充分利用1°=π180 rad 和1 rad =(180π

)°进行换算. (2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n ,则α rad =α·(180π)°;n °=n ·π180

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3 【训练1】 (1)把112°30′化成弧度;

(2)把-5π12

化成度. 解 (1)112°30′=(2252)°=2252×π180=5π8

. (2)-5π12=-5π12×(180π

)°=-75°. 题型二 用弧度制表示角的集合

【例2】 用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图).

解 (1)以OA 为终边的角为π6+2k π(k ∈Z ),以OB 为终边的角为-2π3

+2k π(k ∈Z ),所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{α|-2π3+2k π<α<π6

+2k π,k ∈Z }. (2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是{α|2π3+2k π<α<7π6

+2k π,k ∈Z }. 规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤

(1)仔细观察图形.

(2)写出区域边界作为终边时角的表示.

(3)用不等式表示区域范围内的角.

【训练2】 已知角α=2 010°.

(1)将α改写成β+2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;

(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角.

解 (1)2 010°=2 010×π180=67π6=5×2π+7π6

, 又π<7π6<3π2

, ∴α与7π6

终边相同,是第三象限的角. (2)与α终边相同的角可以写成γ=7π6

+2k π(k ∈Z ),

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4 又-5π≤γ<0,

∴当k =-3时,γ=-296

π; 当k =-2时,γ=-176

π; 当k =-1时,γ=-56

π. 题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用

【例3】 已知一个扇形的周长为a ,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.

解 设扇形的弧长为l ,半径为r ,圆心角为α,面积为S .由已知,2r +l =a ,即l =a -2r .

∴S =12l ·r =12(a -2r )·r =-r 2+a 2

r =-⎝ ⎛⎭⎪⎫r -a 42+a 216

. ∵r >0,l =a -2r >0,∴0<r <a 2

, ∴当r =a 4时,S max =a 216.此时,l =a -2·a 4=a 2, ∴α=l r =2.故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积最大,最大值为a 216

. 规律方法 扇形弧长、面积问题的解决方法

(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式:

一是S =12lr =12

|α|r 2,二是l =|α|r ,如果已知其中两个,就可以求出另一个. (2)解决此类题目要首先分析已知哪些量,要求哪些量,然后灵活运用公式求解.

提醒:当扇形周长一定时,求扇形面积的最大值,需把面积S 转化为关于R 的二次函数,但要注意R 的取值范围,特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πR .

【训练3】 已知扇形AOB 的周长为10 cm .

(1)若这个扇形的面积为4 cm 2

,求扇形圆心角的弧度数;

(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.

解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l ,半径为r ,面积为S , (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ l +2r =10,①12

lr =4,② ①代入②得r 2-5r +4=0,

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5 解得r 1=1,r 2=4.

当r =1时,l =8 cm ,此时,θ=8 rad>2π rad ,舍去;

当r =4时,l =2 cm ,此时,θ=24=12

rad . (2)由l +2r …… 此处隐藏:2021字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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