高数上册期末考试试题及答案

高等数学,让很多人犯愁的科目。知道的都明白

07-08-1学期《高等数学A1》A卷参考答案及评分标准

一、 单项选择题（每小题3分，共18分）

1、A ；2、B； 3、B； 4、B； 5、C； 6、C

二、填空题（每小题3分，共18分）

7、1；8、22；9、(0,1)；10、y ex；11

、C；12、k 1.

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三、解下列各题（每小题6分，共48分）

13解：因为limsinx(cosx b) 5，且limsinx (cosx b) 0，所以 x 0ex ax 0

x 0lim(ex a) 0，得a = 1. ————3分

极限化为

sinxx(cosx b) lim(cosx b) 1 b 5，得b = 4.————3分 x 0e ax 0xlim

因此，a = 1，b = 4.

14证明：双曲线xy 1上任何一点(x,y)的切线方程为

Y y 1

2(X )x 分2 x

切线与x轴、y轴的交点为(0,y 1), (2x,0) 2分 x

故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为 s x(y 1) 2 2分 x

15、解：x 2时y 1,t

y 1 sint 1分 1 cost

1y t 0 1分 2 0 1分

y sint cost 1

1 cost 3 2分

1 1分 4y x 2 sin0 cos0 1 1 cos0 3

16解: [ln(lnx) 1]dx ln(lnx)dx 1dx 1分 lnxlnx

xln(lnx) 11dx dx 4分 lnxlnx

xln(lnx) C 1分

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1112sinx17

解： x2(sinxdx (xdx x 1分 44 1 1 11 x1 x

(xdx 0 2分 11

2 2sin2tcos2tdt 1分 x sitn

8 2分

18解：由题意 (a 3b) (7a 5b) 0

(a 4b) (7a 2b) 0 2分,

展开求得:a b 1

2,b 1 2分,

cos(a, b) a b

ab 1

2 1分,

所以 (a ,b)

3 1分

i j k

19、解：所求平面的法向量： n 10 2 2 i 2 j k 3分

2 1 2

所求平面的方程为：2(x 2) 2(y 1) (z 2) 0 2分 即：2x 2y z 4 1分

20解：方程两边对x求导得

6y2y' 4yy' 2xy' 2y 2x 0……………（*）

即 y' x y

3y2 2y x 2分

令y' 0得x y，将x y代入原方程得唯一驻点x 1 1分。

（*）式两边对x求导得

(3y2 2y x)y" y'(6yy' 2y' 1) 1 y'

将x 1，y 1，y' 0代入上式得

y''(1) 1

2 0 2分

因此，x 1为y y(x)的极小点.――――1分

四、综合题（每小题8分，共16分）

21

解：设切点坐标为(t,，由y 1

2，可知曲线y

x在(t,

线方程为 处的切

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y 1

2t x t ，或y x t 2分．

因此所求旋转体的体积为

2

V

x t 0 2 8 dx 4 2t 2分 4 3t 2

所以，2dV 8 ，舍去t 2分． 2 2 0．得驻点t

dt4 3t

d2V由于2dt

t 2

1643t2 t 23 0，因而函数V在t 2处达到极小值，而且也是最

3

小值．因此所求切线方程为y 1x 2分． 2

22证明： 由拉格朗日定理：设f(x) x,则

其中0 (x) 1 2分，

解出 (x) 11 x] 1分，

42 , 1

1 1] 0, '(x) 2x

1(因(x )2 x2 x) 2

所以 (x)单增，--------2分

1111 (或 (1) ) 1分， x 2422

11lim (x) （或 (0)=） 1分， x 0 44lim (x)

从而11 (x) 1分 42