深外试卷

高一数学必修2立体几何练习题

试卷满分：100分 考试时间：85分钟

班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________

第Ⅰ卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1、线段AB在平面 内，则直线AB与平面 的位置关系是 （ ） A、AB B、AB C、由线段AB的长短而定 D、以上都不对 2、下列说法正确的是 （ ）

A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形

C、梯形一定是平面图形 D、平面 和平面 有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）

A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能 4、在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是 （ ）

A、A1C1 AD B、D1C1 AB C、AC1与DC成45 角 D、A1C1与B1C成60 角 5、一个三棱锥中，两组相对棱所成的角都是90 ，则另一组相对棱所成的角为（ ） （A）90 （B）60 （C）45 （D）30

6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 （ ） A、1 B、2 C、3 D、4

、DA上分别取E、F、G、H四点，如果与7、在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD

EF、GH能相交于点P，那么 （ ） A、点必P在直线AC上 B、点P必在直线BD上

C、点P必在平面ABC内 D、点P必在平面ABC外

8、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有 （ ）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 9、有一个几何体的三视图如下图所示， 这个几何体应是一个（ ）

A、棱台 B、棱锥 C、棱柱 D、都不对

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10、已知二面角 AB 的平面角是锐角 ，点C到棱AB的 内一点C到 的距离为3，距离为4，那么tan 的值等于 （ ）

A、

34

B

、

35

C

、

7

D、

7

第Ⅱ卷

一、选择题（每小题5分，共60分） A'P

C'

二、填空题（每小题4分，共16分）

11、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分 别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC 的体积为 。

12、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是

Q

A

A1

D1

C

S球 S正方体 (填”大于、小于或等于”).

13、正方体ABCD A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D

B1

1

D的位置关系为

14、如图，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中，当底面四边形

AABCD满足条件 时，有A1 B⊥B1 D1．

(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)

C

B

三、解答题(共44分,要求写出主要的证明、解答过程) 15．(本题满分8分)

已知正四面体ABCD的棱长为a. (1) 求点A到面BCD的距离；

(2) 求AB与面BCD所成角的正弦值； (3) 求二面角A－CD－B的余弦值；

A

D M C

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16、(本题满分8分)

已知正方体ABCD A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点。 求证：（１）C1O//面AB1D1； （2 ）A1C 面AB1D1．

17. (本题满分8分)如下图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，

求证：（1）AE⊥平面PBC； （2）PC⊥平面AEF.

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18. (本题满分10分)正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起（如下图），使A、C点重合于A′点.

（1）证明：A′D⊥EF；

（2）当F为BC的中点时，求A′D与平面DEF所成的角的正切值；

（3）当BF=

14

BC时，求三棱锥A′—EFD的体积.

D

F

C

19. (本题满分10分)如下图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是

AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°.

（1）求证：AF∥平面PEC；

（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；

（3）设AD=2，CD=22，求点A到平面PEC的距离.

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参考答案：

1-10 ACDDA BABAD 11.

V3

对角线A1C1与B1D1互相垂直

15. 解：（1）过点A作AO垂直于平面BCD，垂足为O。

由于正四面体ABCD也是正三棱锥，所以点O

为三角形BCD的中心，连结BO

，则BO AO 平面BCDBO 平面BCD

23

2a

3

a，

AO BO

在Rt ABO中，AO

3

a

（2）

AO 平面BCD于O，

BO是AB在平面BCD上的射影 ABO是AB与平面BCD所成的角

a

sin ABO=

a3

（3）延长BO交CD于点M,

则BM CD，由三垂线定理可知AM CD

AMB即所求。

在Rt AOM中，cos AMO= AM2

OM

13

16. 证明：（1）连结A1C1，设A1C1 B1D1 O1

连结AO1， ABCD A1B1C1D1是正方体 A1ACC1是平行四边形

A1C1//AC且 A1C1 AC

又O1,O分别是A1C1,AC的中点， O1C1//AO且O1C1 AO

AOC1O1是平行四边形 C1O//AO1,AO1 面AB1D1，C1O 面AB1D1

C1O//面AB1D1

（2） CC1 面A1B1C1D1 CC1 B1D!

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又 A1C1 B1D1， B1D1 面A1C1C

即A1C B1D1

同理可证A1C AB1， 又D1B1 AB1 B1

A1C 面AB1D1

17. 17. 证明：

（1）AE 平面PAB，由（1）知AE⊥BC AE⊥PB PB∩BC=B （2）PC 平面PBC，由（2）知PC⊥AE PC⊥AF AE∩AF=A

PC⊥平面AEF. AE⊥平面PBC

.

18. 18. （1）证明：∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，

∴A′D⊥平面A′EF.∴A′D⊥EF.

（2）解：取EF的中点G，连结A′G、DG. ∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴EF=2. 又∵A′E=A′F=1，

∴∠EA′F=90°，A′G⊥EF，得A′G=

22

.

∵A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′， ∴EF⊥平面A′DG.

∴平面DEF⊥平面A′DG.

作A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF， ∴∠A′DG为A′D与平面DEF所成的角. 在Rt△A′DG中，A′G=∴∠A′DG=arctan

24

22

，A′D=2，

.

（3）解：∵A′D⊥平面A′EF， ∴A′D是三棱锥D—A′EF的高. 又由BE=1，BF=

12

推出EF=

52

，

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54

可得S A EF=

，

13

VA′－EFD=VD－A′EF=·S A EF·A′D=

3

1

·

54

·2=

56

.

19. 分析：对问题（1），关键是证明AF与平面PEC内的一条直线平行，为此可取PC的中点

G，论证AF∥EG；对问题（2），可转化为证明线面垂直；对问题（3），可转化为求点F到平面PEC的距离，进而可以充分运用（2）的结论.

（1）证明：取PC的中点G，连结EG、FG.

∵F是PD的中点，∴FG∥CD且FG=

12

CD.而AE∥CD且AE=

12

CD，∴EA∥GF且EA=GF，故

四边形EGFA是平行四边形，从而EG∥AF.又AF 平面PEC，EG 平面PEC，∴AF∥平面PEC.

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影.又CD⊥AD，∴CD⊥

PD，∠PDA就是二面角P—CD—B的平面角.∴∠ADP=45°，则AF⊥PD.

又AF⊥CD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD. 由（1），EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，

而EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.

（3）解：过F作FH⊥PC交PC于点H，又平面PEC⊥平面PCD，则FH⊥平面PEC，∴FH为点F到平面PEC的距离，而AF∥平面PEC，故FH等于点A到平面PEC的距离.

在△PFH与△PCD中，

∵∠FHP=∠CDP=90°，∠FPC为公共角，

∴△PFH∽△PCD，

FHCD

=

PFPC

.

2

∵AD=2，CD=22，PF=2，PC=CD∴点A到平面PEC的距离为1.

PD

2

=4，∴FH=

24

·22=1.