运筹学 北京邮电大学ch1-1

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运筹学Operations Research

Chapter 1 线性规划Linear Programming1.LP的数学模型 2.图解法 3.标准型 4.基本概念 5.单纯形法 6.人工变量法 7.计算公式 Mathematical Model of LP

Graphical MethodNormalized Form of LP

Basic Concepts Simplex MethodArtificial Variable Method Calculate Formula

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

Linear Programming2013年11月19日星期二 Page 2 of 21

线性规划(Linear Programming缩写为LP)是运筹 学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其 方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常解决下列两类问题 (1)当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理 安排，用最少的资源 (如资金、设备、原标材料 、人工、时间等)去完成确定的任务或目标； (2)在一定的资源条件限制下，如何组织安排生 产获得最好的经济效益(如产品量最多 、利润最 大.返回首页

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

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【例1.1】某企业计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料 规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如表1-1所 示 ，已知各设备在计划期内的能力分别为20、15、16、12 小时；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润 分别为4、3、5元。企业决策者应如何安排生产计划，使企 业在计划期内总的利润收入最大？

产品 设备

甲

乙

丙

3 2 4 0 利润(元/件) 4

A B C D

1 2 0 3 3

2 4 1 5 5

设备能力 (小时) 20 15 16 12返回首页

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

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【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产 量数学模型为：

max Z 4 x1 3x2 5 x3

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

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线性规划的数学模型由决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints 构成。称为三个要素。

怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 1.解决问题的目标函数是多个决策变量的 线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2.解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

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【例1.2】 河流1:每天流量500万m3 ;河流2:每天流量200万 m3 ,水质要求：污水含量≤0.2%

污水从工厂1流向工厂2有20%可以净化 处理污水成本：工厂1 1000元/万m3; 工厂2 800元/万m3 问两个工厂

每天各处理多少污水总成本最少？ 【解】设x1 、x2分别为工厂1、2每天处理的污水量(万m3),则工厂1:

2-x1 2 x1 1 500 1000

2万m3 500万m3

1.4万m3

工厂2:

0.(2-x1) (1.4 x2 ) 2 8 0.8x1 x2 1.6 500 200 1000返回首页

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

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数学模型为：min Z 1000 x1 800 x 2 x1 1 0.8 x x 1.6 1 2 x1 2 x 1.4 2 x1 , x 2 0 返回首页

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

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【例1.3】下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是2.9,2.1,1.5(m), 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。现在 要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴？ 【解】第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的 根数分别为y1,y2,y3,则切割方式可用不等式 2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4表示，求这个不等式关于y1,y2,y3 的非负整数解。例如y1=2,y2=0则y3只能为1,余料为0.1。 象这样的非负整数解共有8组，也就是有8种下料方式， 如表1-2所示。 第二步：建立线性规划数学模型。设xj(j=1,2…,8)

为第j种下料方案所用圆钢的根数。则数学模型为

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

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2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4方案

表1-2

1

2

3

4

5

6

7

8

需求量 100 100 100

规格

y1(2.9m) y2(2.1m) y3(1.5m)

2 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 0 3 2 1 0 1 0 1 3 0 2 3 4 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4 min z =x1+x2+x3 +x4+x5 +x6+x7 +x8 2x1+x2+x3 +x4 100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 100 xj 0, j =1, 2, … , 8

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§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP

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用§1.5的单纯形法求得最优解为x1=10,x2=50,x4=30,其余 x为零，即第一种方案用料10根，第二种方案用50根，第 四种方案用30根，共计用料90根。 如果要求余料最少，则目标函数及约束条件为： min z =0.1x1+0.3x2+0.9x3 …… 此处隐藏：3103字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……