第2讲 用样本估计总体 夯基释疑 考点一 概要 考点突破 考点二 考点三 课堂小结 例1 例2 例3 训练1

训练2训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率.( ) (2)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集 中趋势.( ) (3)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积 和是相等的.( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从 小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.( )

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考点突破 考点一 频率分布直方图【例题 1】(2014· 新课标全国Ⅰ卷 )从某企业生产的某种产品中抽取 100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标 [75, 85) [85, 95) [95, 105) [105, 115) [115, 125) 值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)作出这些数据的频率分布直方图： (2)估计这种产品质量指标值的平均 数及方差 (同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表 ); (3)根据以上抽样调查数据，能否认为 该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于 95 的产品至少要占全部产 品 80%”的规定？

解析(1)频率分布直方图如右:第3页

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考点突破 考点一 频率分布直方图(2)估计这种产品质量指标值的平均 数及方差(同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据，能否认为 该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于 95 的产品至少要占全部产 品 80%”的规定？

(2)质量指标值的样本平均数为

x = 80 × 0.06 + 90 × 0.26 + 100 × 0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102 ×0.22+202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100, 方差的估计值为 104.第4页

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考点突破 考点一 频率分布直方图(2)估计这种产品质量指标值的平均 数及方差(同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据，能否认为 该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于 95 的产品至少要占全部产 品 80%”的规定？

(3)质量指标值不低于 95 的产品 所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8,

故不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不 低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定.

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考点突破 考点一 频率分布直方图

规律方法解决频率分布直方图的问题， 关键在于找出图中数据之间 频率 的联系.这些数据中，直接的有组距、 ,间接的有频率

、 组距 小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系： 频率 小长方形面积=组距× =频率， 小长方形面积之和等于 1, 组距 即频率之和等于 1,就可以解决直方图的有关问题.

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考点突破 考点一 频率分布直方图训练 1 ( (2015· 郑州质量预测)某班的全体学生参加消防安全 知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 [20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于 60 分的 人数是 15,则该班的学生人数是________.

解析

依题意，低于 60 的人数的频率为1-(0.020+0.015)× 20=0.3,

因此该班学生人数是 15÷ 0.3=50.

答案 50

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考点突破

考点二 茎叶图 工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

年龄(岁) 【例题 2】(2014· 广东卷)某车间 20 19 名工人年龄数据如下表： 28 (1)求这 20 名工人年龄的众数与极差； 29 (2)以十位数为茎，个位数为叶， 30 作出这 20 名工人年龄的茎叶图； 31 32 (3)求这 20 名工人年龄的方差. 40 合计(1)由题意可知，这 20 名工人年龄的众数是 30,极差是 40-19=21.

(2)这 20 名工人年龄的茎叶图 如图所示：第8页

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考点突破

考点二 茎叶图 工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

年龄(岁) 【例题 2】(2014· 广东卷)某车间 20 19 名工人年龄数据如下表： 28 (1)求这 20 名工人年龄的众数与极差； 29 (2)以十位数为茎，个位数为叶， 30 作出这 20 名工人年龄的茎叶图； 31 32 (3)求这 20 名工人年龄的方差. 40 合计

(3)这 20 名工人年龄的平均数为 1 x = (19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40)=30, 20 20 1 ∴这 20 名工人年龄的方差为 s2= (xi- x )2 20i=1 112+6×22+7×12+5×02+102 252 = = =12.6. 20 20第9页

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考点突破

考点二 茎叶图

规律方法(1)茎叶图的绘制需注意：①“叶”的位置只有一个数字，而 “茎”的位置的数字位数一般不需要统一； ②重复出现的数据要重 复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据. (2)茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组 数据，也可以用来比较两组数据. 通过茎叶图可以确定数据的中 位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分 布是否均匀等.

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考点突破

考点二 茎叶图

训练 2 (2015· 海口调研)某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数 据的中位数为 85,则该组数据的平均数为________.

解析 依题意得，将样本数据由小到大排列， 中间的两 个数之和等于 85× 2=170,因此 x=6,样本数据的平均数等于 1 (70× 2+80× 6+90× 2+53)=85.3. 10

答案 85.3

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考点突破 考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例 3 甲乙二人参加某体育项目训练， 近期的五次测试成绩得分情况如图. (1) 分别求出两人得分的平均数与方 差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人 的训练成绩作出评价.

解析 (1)由题图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分； 乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分. 13+14+12+12+14 10+13+12+14+16 x 乙= =13, x 甲= =13, 5 5 1 2 s甲 = [(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4, 5返回目录 结束放映

1 2 s乙 = [(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8. 5第12页

考点突破 考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例 3 甲乙二人参加某体育项目训练， 近期的五次测试成绩得分情况如图. (1) 分别求出两人得分的平均数与方 差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人 的训练成绩作出评价.2 解析 (2)由 s2 甲>s乙可知乙的成绩较稳定.

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.

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考点突破 考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征

规律方法平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明 的描述， 它们所反映的情况有着重要的实际意义， 平均数、 中位 数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.

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考点突破 考点三 用样本的数字特征估计总体的数字特征训练 3 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分， 7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示： 8 7 7 9 4 0 1 0 x 9 1 116 36 6 7 则 7 个剩余分数的方差为( )A. B. C.36 D. 9 7 787+94+90+91+90+90+x+91 解析 由题意知 =91 解得 x=4. 7 1 2 所以 s = [(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(90 7 -91)2+(94-91)2+(91-91)2] 1 36 = (16+9+1+0+1+9+0)= . 7 7 答案 B第15页

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课堂小结

思想方法

1. 用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和 频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点 是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.在计数和计算 时一定要准确， 在绘制小矩形时， 宽窄要一致. 通过频率分布表 和频率分布直方图可以对总体作出估计. 2.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样 本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成，没有

损失 任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方 图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作. 3.若 x1,x2,…,xn 的平均数为 x,方差为 s2,则 ax1+b, ax2+b,…,axn+b 的平均数为 ax+b,方差为 a2s2.

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