3.2 一般形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)

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1.三维形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是实数，则2 2 (a1+a2+a2)(b2+b2+b2)≥ 2 3 1 3

(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且

仅当 bi=0(i=1,2,3) 或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,3) 时等号成立. 2.一般形式的柯西不等式

设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数，2 2 则(a2+a2+…+a2 )(b1+b2+…+b2 )≥ (a1b1+a2b2+… 1 n 2 n

+anbn)2 ,当且仅当 bi=0(i=1,2…n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立.

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[例 1]

1 1 设 x1,x2,…,xn 都是正数，求证： + +…+ x1 x2

1 n2 ≥ . xn x1+x2+…+xn

[思路点拨]

根据一般柯西不等式的特点，构造两组数

的积的形式，利用柯西不等式证明.

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[证明]

1 1 1 ∵(x1+x2+…+xn)( + +…+x ) x1 x2 n2 2 2

1 2 1 2 =[( x1) +( x2) +…+( xn) ][( ) +( ) +…+ x1 x2 1 2 1 1 1 2 ( ) ]≥( x1· + x2· +…+ xn· ) =n2 xn x1 x2 xn 1 1 1 n2 ∴ + +…+x ≥ . x1 x2 x1+x2+…+xn n

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柯西不等式的结构特征可以记为： (a1+a2+…+an)· 1+b2+…+bn)≥( a1b1+ (b a2b2+…+ anbn)2. 其中 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),在使用柯西不等 式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确 地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键.

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1. 已知 a、 c、 b、 d∈R+, a+b+c=1, 且 求证： 3a+1+ 3b+1 + 3c+1≤3 2.

证明：根据柯西不等式，有 ( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)2≤ (1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1)=18 ∴ 3a+1+ 3b+1+ 3c+1≤3 2

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a2 b2 c2 2.设 a,b,c 为正数，求证： b + c + a ≥a+b+c.证明：由柯西不等式知， a2 b2 c2 a 2 b 2 c 2 ( b + c + a )(a+b+c)=[( ) +( ) +( ) ]· a)2 + [( b c a a b c ( b) +( c) ]≥( × b+ × c+ × a)2=(a+b+ b c a2 2

c)2, 又∵a,b,c 为正数，∴a+b+c>0. a2 b2 c2 ∴ b + c + a ≥a+b+c.

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[例 2]

(1)已知 x、y、z∈R+,且 x+y+z=1.

1 4 9 求 + + 的最小值. x y z (2)设 2x+3y+5z=29. 求函数 μ= 2x+1+ 3y+4+ 5z+6的最大值.[思路点拨] 1 4 9 1 4 9 (1)利用 + + =( + + )(x+y+z). x y z x y 8

(2)利用( 2x+1+ 3y+4+ 5z+6)2= 1× 2x+1+1× 3y+4+1× 5z+6)2.

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[解]

(1)∵x+y+z=1,

1 4 9 1 4 9 ∴x+ y+ z =(x+ y+ z )(x+y+z) ≥( 1 2 3 · x+ · y+ · z)2 x y z

=(1+2+3)2=36. y z 当且仅当 x= = , 2 3 1 1 1 即 x= ,y= ,z= 时取等号. 6 3 2 1 4 9 所以x+ y+ z 的最小值为 36.

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(2)根据柯西不等式，有 ( 2x+1· 1+ 3y+4· 1+ 5z+6· 2 1) ≤[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]· (1+1+1) =3×(2x+3y+5z+11) =3×40 =120. 故 2x+1+ 3y+4+ 5z+6≤2 当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6, 37 28 22 即 x= ,y= ,z= 时等号成立. 6 9 15 此时 μmax=2 30. 30

,

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利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进 行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立 的条件.

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1 1 1 3.设 a,b,c,d 均为正实数，则(a+b+c+d)·a+b+ c ( 1 +d)的最小值为________. 1 1 1 1 解析：(a+b+c+d)· +b+c +d) (a1 2 1 2 1 2 =[( a) +( b) +( c) +( d) ]· ) +( ) +( ) + [( a b c 1 1 1 1 1 ( )2]≥( a· + b· + c· + d· )2 =(1+1+1+ d a b c d2 2 2 2

1)2=42=16, 当且仅当 a=b=c=d 时取等号.

答案：16

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4.已知：x,y,z∈R+且 x+y+z=2,则 x+2 y+ 3z的 最大值为 A.2 7 C.4 B.2 3 D.5 ( )

解析： ∵( x+2 y+ 3z)2=(1× x+2 y+ 3· z)2≤(12 +22+( 3)2)[( x)2+( y)2+( z)2]=8(x+y+z)=16.(当 1 1 1 且仅当 x= y= z= 时取等号). 4 3 4 ∴ x+2 y+ 3z≤4.

答案：C

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5.把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形.

问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值.解：设三段绳子的长分别为 x,y,z,则 x+y+z=12, x y z 三个正方形的边长分别为 ， , 均为正数，三个正方形 4 4 4 x2 y2 z2 1 2 2 2 面积之和：S=( ) +( ) +( ) = (x +y +z ). 4 4 4 16 ∵(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=122,