第四章：曲线坐标系张量分析

张量场函数：T f r 在空间中每一点定义一个张量T 曲线坐标系回顾：

笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 r x1e1 x2e2 x3e3

xi坐标线：只变化一个坐标xi时，矢径的轨迹。 直线坐标系下，坐标线都是直线。

当xi xi 1, 2, 3 ， 1， 2， 3坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系

r

协变基：gi i

所以：

xk xk i i

gi iek gi' ii'ek i'gi

gj

j j'

g e g ejmmjmm

x x

j

j'

j

j'

原因：

jkjmj

x x j

gi gj miek em m iii

x x

曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数 基矢量的导数

基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：

gj i

k ijgk ij,kgk

其中组合系数

k ij 称为第二类Christoffel符号

ij,k称为第一类Christoffel符号

Christoffel符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。事实上：

kij

gj i

gk gk

ij,k

gj

i

① 指标对称性

第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。然而，根据协变基矢量的定义：

gj 可得：

r

j

gj

2r g

i g ij gk ij gk kji

kij

k

ij,k

2r g i gk ij gk j gk ji,k

gj

说明Christoffel符号相对它的前两个协变指标是对称的。 ②不是张量

在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类Christoffel符号全部为零。如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。 ② 两类Christoffel符号之间的联系

由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升降。

kij

gj

ij,k

i i

gj gj

m

i gk i gkmgm gkm ij

g g

kkm

gj

gm gkm ij,m

④逆变基矢量的导数 由 gi gj ij 可知：

gji gi

gj k g 0 k

从而

gii

g jkj k

giij

g kjk

（逆变基导数表达式符合张量指标规则，但要加负号）

⑤与度量张量分量导数之间的关系

gj g k gj k gi ki,j kj,i k gij

(a) (b) (c)

k

i

j

gjk

i

ij,k ik,j

gki

jk,i ij,k j

(b)+(c)-(a)

ij,k规则：

1 gjk g gij (i j k) 2

① 分别求度量张量分量对曲线坐标 i, j, k的导数，度量张量的分量指标按与曲线

坐标指标构成顺时针排序确定；

② 曲线坐标的指标为i,j时为正，曲线坐标的指标为k时为负； ③ 将所得结果相加的一半即为 ij,k。 例题 g1 (g2 g3)对曲线坐标的导数

[g (g g)]

i

g g2 g3 1 (g g) g ( g) g (g )231312iii

kkk i1gk (g2 g3) i2g1 (gk g3) i3g1 (g2 gk) 23 ( 1 i1i2i3)g1 (g2 g3)k 从中可得Christoffel符号的一个重要性质：

k

ik

Hamilton 算子 定义：

i

g i

运算规则：作用于张量时，运算结果由对张量对曲线坐标求偏导数与相应的基矢量组成；基矢量指标与曲线坐标指标相同；基矢量与张量偏导数之间的运算与算子与张量之间的运算相同：

T T

T g i T i gi （张量的左右梯度）

i

T gi

T Ti

T g （张量的左右散度） ii

T gi

T Ti

T g （张量的左右旋度） ii

Hamilton 算子是一种不依赖坐标系的微分算子，计算结果与坐标系的选择无关：

ii

iii 证明：i g i i g i i g i gi

Hamilton 算子与张量之间的运算结果是张量

T T k T Tki'

例如： T g k g i'k kg i' g i'

k

i'

i'

T gk

T k Tk T i' T g g g i' kkki'i'

'

'

i'i'

T T i ik T Tkki'

T g k g i'k kg i' g i'

张量分量的协变导数

kl

张量 T T.i.jkg 对曲线坐标的导数 g g glij

ij

T T..kLkL

g g g gij s s

gmmj gmkLim

T..kLs gj g g T..kLgi s gk gL

gm gmijLijk

T..mLgi gj s g T..kmgi gj g s

ij T..kLmjiimjijmkL (s T..kL ms T..kL ms T..mL ks T..ijkm mLs)gi gj g g

ijkLijkL

sT..kg g g g Tg g g gLij..kL;sij

张量分量的协变导数

T

ijs..kL

T

ij..kL;s

ij T..kLmjiimjijmijm

T T T T ..kLms..kLms..mLks..kmLs

s

ijT..kL;s

由以下几个部分组成：

ij T..kL

① 普通偏导数： s

mji

② 含逆变指标的分量与第二类Christoffel符号相乘：T..kL ms

其中 ims的逆变指标为张量分量的逆变指标

原张量分量的逆变指标与 ims的第一个协变指标构成一对哑指标

ims的第二个协变指标为曲线坐标的指标

ij③ 含协变指标的分量与负第二类Christoffel符号相乘： T..mL mks

其中 mks的第一个协变指标为张量分量的协变指标 原张量分量的协变指标与 mks的逆变指标构成一对哑指标

mks的第二个协变指标为曲线坐标的指标 由于

T gk

T Ti'

g ki'

按张量分量协变导数的定义：

ijsi'j's'k'l'

T= sT..klg gi gj g …… 此处隐藏：5840字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……