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§4.3齐次线性方程组

齐次线性方程组线

a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x +L + a x = 0 21 1 22 2 2n n M am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0 或矩阵形式 : Ax = 0 其中A = (aij ) m×n , x = ( x1 , x2 ,L , xn )T

(4.5)

性 代 数

(4.6)

a11 a12 a1n 0 a a a 0 21 + x 22 + L + x 2 n = 向量形式 : x1 n M 2 M M M am1 am 2 amn 0 或 x1α1 + x2α 2 + L + xnα n = 0

= =

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对于齐次线性方程组(4.5)来说,它必定为相容的, 因为x = (0, 0,L , 0)T 一定是它的解.因此,就齐次线性方程 组而言,我们关心的是:它在什么情况下有非零解,以及如 线 何求出所有的非零解.性 根据矩阵方程(4.6),我们来讨论其解向量的性质. 性质1 若x = ξ1 , x = ξ 2为(4.6)的解, 则x = ξ1 + ξ 2也是(4.6)的解. 性质1 证 : 因A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0 + 0 = 0, 所以 x = ξ1 + ξ 2是(4.6)的解. 代 性质2 性质2 若x = ξ 为(4.6)的解, k为任意实数, 则x = kξ 也是(4.6)的解.

证 : 因A(kξ ) = k ( Aξ ) = k 0 = 0, 所以 x = kξ 是(4.6)的解.

数

若记S为方程组(4.5)或(4.6)的全体解向量所组成的集合, 则由性质1和性质2得 (1)若ξ1 ∈ S , ξ 2 ∈ S , 则ξ1 + ξ 2 ∈ S (2)若ξ ∈ S , k ∈ R, 则kξ ∈ S 即集合S是一个向量空间, 称它为齐次线性方程组(4.6)的解空间. 解空间

= =

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定义3 定义

(1) ξ1 , ξ2 ,L , ξ r线性无关;

齐 线 方 组 次 性 程 (4.6)的 组 ξ1,ξ2,L,ξr若 足 一 解 满

(2) (4.6)的任一解都能表示为ξ1 , ξ2 ,L , ξ r线性组合. 线 则称ξ1 , ξ2 ,L , ξ r为(4.6)的一个基础解系(亦即解空 间的一组基) 若ξ1 , ξ2 ,L , ξ r为齐次线性方程组(4.6)的基础解系,性 代 数

并称x = k1ξ1 + k2ξ2 + L + krξ r为方程组(4.6)的通解. 通解 定理2 设齐次方程组(4.6)系数矩阵的秩r(A)=r, n为方程组中未知数的个数. (1) (4.6)只有零解 r ( A) = r = n

则(4.6)的全部解可一写成 S={x = k1ξ1 + k2ξ2 + L + krξ r|k1 , k2 ,L , kr ∈ R},

= =

(2) (4.6)有非零解 r ( A) = r < n, 且存在一个 线性无关的解向量ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n r 构成基础解系.

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证明: 证明:

(1) Ax = 0只有零解 只有x1 = x2 = L = xn = 0才能使 x1α1 + x2α 2 + L + xnα n = 0 A的列向量组线性无关 r ( A) = n

线 性

(2) Ax = 0有非零解 存在x1 , x2 ,L, xn不全为零, 使得 x1α1 + x2α 2 + L + xnα n = 0 向量组α1 ,α 2 ,L,α n线性相关 代 r ( A) = r (α1 ,α 2 ,L,α n ) = r < n因线性方程组(4.6)的系数矩阵A的秩r(A)=r<n,即矩阵 A的列向量组α1 , α 2 ,L ,α n的秩为r,不妨设α1 , α 2 ,L ,α r为数

α1 , α 2 ,L ,α n的一个极大线性无关组, 则由矩阵初等变换的知识可得,矩阵A经过初

等行变换可化为如下的行最简形

= =

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1 0 M R = 0 0 M 0

0 L 0 c1,r +1 L c1n 1 L 0 c2,r +1 L c2 n M M M M 0 L 1 cr ,r +1 L crn 0 L 0 0 L 0 M M M M 0 L 0 0 L 0

线 性 代 数

则原方程组与阶梯形方程组Rx = 0同解, 即 c1,r+1 xr +1 + L +c1n xn =0 x1 + x2 + c2,r +1 xr +1 + L +c2 n xn = 0 LLLLLLLLLLLLLL xr + cr ,r +1 xr +1 + L + crn xn = 0 是Ax = 0的同解方程组.

(4.7)

= =

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(4.7)中xr +1 , xr + 2 ,L , xn为自由未知量, 将它们分别 0 取为下面n r组数 xr +1 1 0 x 0 1 0 r + 2 = , ,L , M M M M xn 0 0 1

线 性 代 数

代入(4.7)式求得n r组( x1 ,L , xr ), 从而得方程组Rx = 0的n r个 解向量

c1,r +1 c1,r + 2 c1n c c c 2,r +1 2,r + 2 2n M M M cr ,r +1 , ξ = cr ,r + 2 ,L , ξ = crn , ξ1 = n r 1 2 0 0 0 1 0 M M M 0 0 1

= =

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易知ξ1 , ξ2 ,L, ξn r 线性无关,因此, 它们为线性方程组(4.6)的 n-r个线性无关的解向量. 再者,设ξ =(d1 ,d 2 , ,d r ,k1 ,k2 , ,k n-r )T是方程组(4.6) 线 L L 的任一个解向量.由齐次线性方程组解的性质可知 η = k1ξ1 + k2ξ 2 + L + kn rξ n r 也是(4.6)的一个解向量,所以 性 d1 c1,r +1 c1,r +2 c1n l1 d c c c l 代 2 2,r +1 2,r +2 2n 2 M M M M M 数 dr k cr ,r +1 k cr ,r +2 L k crn 记为 lr ξ η = n r k1 1 1 2 0 0 0 = k2 0 1 0 0 M M M M M = 0 0 1 kn r 0

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仍是(4.6)的一个解向量,将它代入(4.7)得 li = 0, i = 1, 2,L , r. 从而ξ η = 0, 即ξ = η = k1ξ1 + k2ξ 2 + L + kn rξ n r , 所以齐次线性方程组(4.6)的任一个解都可以表示成

线 性

ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n r的线性组合. 因此可知ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n r 次线性方程组(4.6)的基础解系. 代由上面的证明过程给出了求齐次线性方程组基础解系的一种 方法.需要指出的是,自由未知量的取值是自由

的,而且自由未知 量的选取也不是唯一的.因此基础解系不是唯一的.但Ax=0的任 何两个基础解系是等价的,因此它们所含解向量的个数(称为解 空间的维数)是唯一确定的.

数

= =

由定理2可以看出齐次线性方程组解的结构的一个特点: 系数矩阵的秩r 未知量的个数n 系数矩阵的秩r(A)+ 解空间的维数 = 未知量的个数n.

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例1 : 求方程组Ax = 0的基础解系与通解, 其中 1 1 3 2 A= 0 1 5 4 1 1 1 0 1 2 解: A→ 0 1 2 0 1 2 1 1 1 2 3 1 2 2 2 1 1 3 2 6 3 1 1 1 6 0 → 6 0 6 0线 性

0 1 1 5 代 1 2 2 6 0 0 0 0 数 0 0 0 0

则原方程组与下列方程组同解 x1 = x3 + x4 + 5 x5 x2 = 2 x3 2 x4 6 x5

= =

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其中x3 , x4 , x5为自由未知量, 让自由未知量分别取值 x3 1 0 0 x = 0 , 1 , 0 得原方程组的基础解系为 4 x5 0 0 1 1 1 5 2 2 6 ξ1 = 1 , ξ 2 = 0 , ξ3 = 0 0 1 0 0 0 1 于是原方程组的通解为 x = c1ξ1 + c2ξ 2 + c3ξ3 , 其中c1 , c2 , c3为任意常数.线 性 代 数

= =

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x1 x2 + 5 x3 x4 = 0 x + x 2 x + 3x = 0 1 2 3 4 例 2 求下列线性方程组 的解 3 x1 x2 + 8 x3 + x4 = 0 x1 + 3 x2 9 x3 + 7 x4 = 0 5 1 1 1 5 1 1 1 1 1 2 3 0 2 7 4 → 解: A= 3 1 8 0 2 1 7 4 1 3 9 7 0 4 14 8 3 3 1 0 2 1 1 0 2 1 0 1 7 2 → 0 2 7 4 → 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

线 性 代 数

= =

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即原方程组与下面方程组 3 x1 = 2 x3 x4 x = 7 x 2x 4 2 2 3 同解, 其中x3 , x4为自由未知量.线 性

x3 1 0 让自由未知量 取值 , , 分别得方程组的基础解系为 代 0 1 x4 数 3 2 1 2 7 = ξ1 = , ξ 2 = .故方程组的通解为x = k1ξ1 + k2ξ3 2 0 1 1 = 0

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2 例3 : 求Ax = 0的基础解系与通解, 其中A = 1 3 解: 1 3 4 2 2 1 3 4 2

1 2 2 1 3 4 2 2 5 6 8 0 线 性 代 数

2 A → 0 5 6 2 3 → 0 1 0 4 3 0 4 6 2 6 0 4 6 2 6 2 1

3 4 2 2 1 3 4 2 → 0 1 0 4 3 → 0 1 0 4 3 0 4 6 2 6 0 0 6 18 18 1 3 4 2 2 1 3 0 14 10 → 0 1 0 4 3 → 0 1 0 4 3 0 0 1 3 3 0 0 1 3 3

= =

1 0 0 2 1 → 0 1 0 4 3 0 0 1 3 3

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2 1 4 3 x1 = 2 x4 + x5 x2 = 4 x4 + 3x5 ξ1 = 3 , ξ 2 = 3 x = 3x 3x 1 4 5 0 3 0 1 x1 2c1 + c2 2 1 x 4c + 3c 3 4 2 2 1 通解 : x = c1ξ1 + c2ξ 2 或解 : x = x3 = 3c1 3c2 = c1 3 + c2 3 x4 c1 1 0 0 c2 1 x5 1 1 1 例4 : 求方程组Ax = 0的解, 其中A = 2 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 , x1 = x3 ξ = 0 . 解: A → x2 = 0 0 0 0 1 通解 : x = cξ

线 性 代 数

= =

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小结 : 求解Ax = 0的基础解系与通解的一般步骤, 设r ( Am×n ) = r < n : 1.用初等行变换把A化为行最简形B 2.写出A的行最简形B所对应的方程组Bx = 0. 3.令n r个自由未知量分别取如下n r组值 1, 0,L , 0; 0,1,L , 0; LLL 0,0,L ,1; 则所得的n r个向量, 记为ξ1 , ξ 2 ,L , ξ n r 就是Ax = 0的 基础解系. 4.写出通解 x = c1ξ1 + c2ξ 2 + L + cn rξ n r , (c1 , c2 ,L , cn r为任意常数)代 数 性 线

= =

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命 题 设 r ( Am × n ) = r < n , 则 方程组 Ax = 0的 任何 n r 个 线性无 关的 解向量 都可 作为 Ax = 0的基 础解 系. 证明 : 略 例 5 : 设 α 1 , α 2 , α 3是方 程组 Ax = 0的基 础解 系, 又 向量线 性 代 数

β 1 = α 1 + α 2 , β 2 = 2α 2 + 3α 3 , β 3 = 3α 3 + α 1 . 证明 : β 1 , β 2 , β 3也 是 Ax = 0的基 础解 系.. 证法1 : (1) β i 是 Ax = 0的解 (i = 1, 2, 3)(2)

{α 1 , α 2 , α 3 } 与 {β 1 , β 2 , β 3 } 等价 :β20 2 3 1 0 1 β 3 ] = [α 1 α 2 α 3 ] 1 2 0 0 3 3 1 1 0 1 1 = 9 ≠ 0, 得 1 2 0 可逆 0 3 3 3

[ β11 而1 0 0 2 3 1 1 0 = 0 3 0

= =