概率论与数理统计,王松桂、程维虎等,科学出版社

第五章第二节

中心极限定理

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中心极限定理的客观背景 &在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.

例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响.

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如瞄准时的误差，

空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.

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自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.观察表明，如果一个量是由大量相互独立 的随机因素的影响所造成，而每一个别因素 在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般 都服从或近似服从正态分布.

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现在我们就来研究独立随机变量之和所特 有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什 么呢？

在什么条件下极限分布会是正态的呢？

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由于无穷个随机变量之和可能趋于∞,故我 们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的 标准化的随机变量

Zn

Xk 1

n

k

E ( X k )k 1 n

n

Var ( X k )k 1

的分布函数的极限.

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考虑 Z n

Xk 1

n

k

E ( X k )k 1 n

n

Var ( X k )k 1

的分布函数的极限.

可以证明，满足一定的条件，上述极限 这就是下面要介 分布是标准正态分布. 绍的 中心极限定理

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在概率论中，习惯于把和的分布收敛 于正态分布这一类定理都叫做中心极限 定理.我们只讨论几种简单情形.

下面给出的独立同分布随机变量序列的 中心极限定理，也称列维一林德伯格 (Levy-Lindberg)定理.

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定理1(独立同分布下的中心极限定理) 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= Var(Xi)= 2 , i=1,2,…,则lim P{n

Xi 1

n

i

n x}

n

x

-

1 -t 2 2 e dt 2

它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.

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定理(棣莫佛-拉普拉斯定理) 设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的 二项分布，则对任意x,有Yn np lim P{ x} n np(1 p)

x

1 e 2

t2 2

dt

定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时(或者说，np(1-p)也不太小时),二项变 量 Yn 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).

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请看演示 中心极限定理的直观演示

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从演示不难看到中心极限定理的客观背景f

g01

h2 3 x

例:20个0-1分布的和的分布

几个(0,1)上均匀分布的和的分布 X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)

X1 +X2+X3~ h(x)

下面我们举例说明中心极限定理的应用

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设一批产品的强度服从期望为14,方差 为4的分布.每箱中装有这种产品100件. 求:(1).每箱产品的平均强度超过14.5的 概率是多少. (2).每箱产品的平均强度超过期望14 的概率是多少. 解: n=100,设Xi是第i件产品的

强度. E(Xi)=14,Var(Xi)=4 i=1,2, ,100. 每箱产品的平均强度为1 n X i 记做 X. n i 1

例1

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根据定理5.2.1X 即 X 14 即 X 14 近似～N(0,1) 2 于是 0.2 100 n X 14 14.5 14 (1). P{X 14.5} P{ } 0.2 0.2 X 14 X 14 P{ 2.5} 1 P{ 2.5} 0.2 0.2 1 (2.5) 1 0.9930 0.0062X 14 14 14 (2). P{X 14} P{ } 0.2 0.2 X 14 1 P{ 0} 1 (0) 1 0.5 0.5 0.2

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例2 计算机在进行数字计算时遵从四舍五入原则. 为使我们此题简单考虑,我们假定对小数 点后面的第一位进行四舍五入运算. 则误差X这个随机变量可以认为服从 [-0.5,0.5]上的均匀分布. 现若在一项计算中一共进行了100次数字 计算.

求:平均误差落在区间 [ 3 , 3 ] 20 20 上的概率

≈0.0866

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解: n=100,设Xi是第i次运算的误差.∵误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分布 ∴ E(Xi)=(-0.5+0.5)/2=0 Var(Xi)=[0.5-(-0.5)]2/12=1/12 i=1,2, ,100. ∴平均误差为 1 nX ni 1 i

记做 X.

根据中心极限定理X 即 n X 1 12

即

20 3 X

近似～N(0,1) 于是

100