1.3.2利用导数研究函数的极值1

高中数学B版选修2-2

1.3.2 利用导数研究 函数的极值

高中数学B版选修2-2

一、复习与引入: 复习与引入: 上节课, 上节课,我们讲了利用函数的导数来研究 函数y 的单调性这个问题. 函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤 为: ①求函数的定义域; 求函数的定义域; ②求函数的导数f '(x) ; 求函数的导数f ( ③解不等式f '(x)>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式f ( )>0得 的单调递增区间; 解不等式f ( <0得 的单调递减区间. 解不等式f '(x) <0得f(x)的单调递减区间.

高中数学B版选修2-2

右图为函数y=2x 右图为函数y=2x3-6x2+7 的图象, 的图象,从图象我们可以看出 下面的结论: 下面的结论:0

y

2

x

函数在x=0的函数值比它附近所有各点 函数在x=0的函数值比它附近所有各点 的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个 的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个 极大值； 极大值； 函数在x=2的函数值比它附近所有各点 函数在x=2的函数值比它附近所有各点 的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个 的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个 极小值。 极小值。

高中数学B版选修2-2

二、新课——函数的极值: 新课——函数的极值 函数的极值: 一般地,设函数y 一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定 如果f 的值比x 附近所有各点的函数 义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数 值都大, 我们说f 是函数y 的一个极 值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极 大值; 如果f 的值比x 大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小, 我们说f 是函数y 数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个 极小值. 极大值与极小值统称极值 极值. 极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值 极值点, 点是自变量的值,极值指的是对应的函数值. 点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.

高中数学B版选修2-2

请注意以下几点: 请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是 (1)极值是一个局部概念.由定义, 极值是一个局部概念 某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小. 是最大或最小.并不意味着它在函数的整个 的定义域内最大或最小. 的定义域内最大或最小.也就是说极值与最 值是两个不同的概念. 值是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在 (2)函数的极值不是唯一的 函数的极值不是唯一的. 某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个. 不止一个.

高中数学B版选修2-2

(3)极大值与极小值之间无确定的大小 (3)极大值与极小值之间无确定的大小 关系.即一个函数的极大值未必大于极小值, 关系.即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, 是极大值点, 是极小值点, 如下图所示, x1是极大值点, x4是极小值点, )>f 而f(x4)>f(x1).y

f ( x4 ) f

( x1 )

o

aa

x1

x2

x3

x4

b

x

高中数学B版选修2-2

(4)函数的极值点一定出现在区间的内 (4)函数的极值点一定出现在区间的内 部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取 区间的端点不能成为极值点. 得最大值、最小值的点可能在区间的内部, 得最大值、最小值的点可能在区间的内部, 也可能在区间的端点. 也可能在区间的端点. 在上节课中, 在上节课中,我们是利用函数的导数来 研究函数的单调性的 下面我们 研究函数的单调性的.下面我们利用函数的 函数的单调性的. 我们利用函数的 导数来研究函数的极值问题. 导数来研究函数的极值问题. 函数的极值问题

高中数学B版选修2-2

由上图可以看出, 在函数取得极值处, 由上图可以看出, 在函数取得极值处, 如果曲线有切线的话, 则切线是水平的, 如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从 而有f 而有f ' (x) =0 .但反过来不一定. .但反过来不一定 但反过来不一定. =0处 如函数y 如函数y=x3, 在x=0处, 曲线的切线是水 平的, 平的, 但这点的函数值既不比它附近的点 的函数值大,也不比它附近的点的函数值小. 的函数值大,也不比它附近的点的函数值小. 假设x 假设x0使f ' (x) =0 .那么在什么情况下x0 .那么在什么情况下 那么在什么情况下x 是f(x)的极值点呢？ 的极值点呢？

高中数学B版选修2-2

y

f ′(x0) =0

f ′(x) > 0o a X0

f ′( x) < 0

0

b

x

如上图所示, 如上图所示,若x0是f(x)的极大值点, 则x0 的极大值点, 两侧附近点的函数值必须小于f 两侧附近点的函数值必须小于f(x0) . 因此, 因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数, 即f '(x) >0; 的左侧附近f 只能是增函数, ( x0的右侧附近f(x)只能是减函数, 即f '(x) <0. 的右侧附近f 只能是减函数, (

高中数学B版选修2-2

y

f ′(x) < 0f ′( x0 ) = 0o a X0

f ′( x) > 0x

b

同理, 如上图所示, 同理, 如上图所示,若x0是f(x)极小值点, 极小值点, 则在x 的左侧附近f 只能是减函数, 则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数, 即 f '(x) <0; 在x0的右侧附近只能是增函数, ( 的右侧附近只能是增函数, 即 f ' (x) >0.

高中数学B版选修2-2

从而我们得出结论: 从而我们得出结论:若x0满足f ’(x) =0, 满足f ’(x 且在x 的两侧的导数异号, 且在x0的两侧的导数异号, 则x0是f(x …… 此处隐藏：2414字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……